ФЭНДОМ



Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Так, наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую — вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую — в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество.

Аттракторы классифицируют по:

  1. Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
  2. Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные — зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
  3. Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же — термин «минимальный» в значении «неделимый») .

Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца, Плыкина, соленоид Смейла-Вильямса, гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные определения Править

При всех определениях аттрактор полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна: инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Виды формализации определения Править

Поскольку всё фазовое пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» — иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный аттрактор Править

Пусть для динамической системы задана область U, которая переводится строго внутрь себя динамикой:

$ \overline{f(U)}\subset U $

Тогда, максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

$ A_{max}=\bigcap_{n=1}^{\infty} f^n(U). $

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также, его применяют в уравнениях с частными производными[1].

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно — скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания — то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора Править

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами — это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее множество Править

Точка x динамической системы называется блуждающей, если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность пересекают:

$ \forall n>0 \quad f^n(U)\bigcap U =\emptyset. $

Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор Править

Статистический аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество $ A_{stat} $, в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности $ U $ для почти любой (в смысле меры Лебега) точки $ x $ выполнено

$ \frac{1}{N}\# \{j\le N \mid f^j(x)\in U \} \to 1, \quad N\to\infty. $

Минимальный аттрактор Править

Статистический аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество $ A_{stat} $, в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности $ U $ выполнено

$ \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} (f_*^j (Leb))(U) \to 1, \quad N\to\infty. $

Космический аттрактор Править

Космический аттрактор это гипотетический космический объект, в который, с течением времени во многие десятки, сотни миллиардов лет, вырастает ядро галактики.

Примеры несовпадений Править

Локальность, минимальность и глобальность Править

по Свирский, с.63 - Пуанкаре: ввел представление о фазовой плоскости, каждой точке которой ставится в соответствие определенное состояние (фаза) моделируемого объекта, характеризующееся набором его параметров. Для построения фазового портрета системы из совокупности дифференциальных уравнений (для фазовой плоскости их два), описывающих временные изменения параметров, исключается время (например, делением одного уравнения на другое) и рассматривается зависимость между самими параметрами, что позволяет, как с птичьего полета, увидеть все состояния, возможные для данного объекта. Здесь важную роль играет присутствие на фазовой плоскости особых устойчивых точек - аттракторов, говорящих о наличии у объекта таких состояний, к которым он эволюционирует от заданных начальных условий, когда на него не действуют внешние возмущающие факторы. Аттрактором м.б. узел, устойчивый фокус или же предельный цикл, причем в последнем случае устанавливается т.н. динамическое равновесие между параметрами системы (см. Устойчивость), когда ее состояние представляет собой незатухающий почти периодический процесс. При переходе к фазовому пространству (многомерный аналог фазовой плоскости) вид аттракторов усложняется, здесь ими могут быть не только точки, но и n-мерные структуры.

Гипотеза: упорядоченные устойчивые самоорганизующиеся структуры возникают на границе между двумя или более странными аттракторами. Взаимодействие динамических хаосов порождает на границе самоорганизацию как поверхностное явление.

С.143: Горизонт предсказуемости поведения наблюдаемой системы появляется в ситуации, описываемой термином "странный аттрактор". Стр. аттр. - математический "конструкт", соответствующий расхождению фазовых траекторий объекта даже в случае сверхточного задания начальных условий его существования. Здесь встает проблема наблюдателя и используемого им языка в контексте горизонта предсказуемости поведения самоорганизующейся системы: расходимость берет свое начало не в качествах наблюдающего субъекта, а в той среде, где происходит сам акт предсказания - в среде языка. Субъект оказывается "заряженным" энергетикой этой среды и выступает как ее составная часть.

Примером реально наблюдаемых самоорганизующихся физических структур в хаосе собственных структурных подквантовых и квантовых моно-вихрей и пакетных вихрей электрической энергии диэлектрика вакуума времени-пространства есть эффект Казимира: флуктуации хаоса вакуума, порождающие очень коротко живущие нестабильные парные вихри энергии-массы "виртуальных" частиц материи (электрон-позитрон, протон-антипротон, нейтрон-антинейтрон и др.). В случае рождения таких короткоживущих пар виртуальных вихрей энергии-массы по разные стороны граничной поверхности (например, вблизи внешней поверхности свободных или связанных в ядро атома нейтрона, протона) в редких случаях происходит "туннелирование" таких виртуальных частиц в реальные стабильные частицы. И происходит прирост квантов энергии-массы, квантов комплементарных парных электрических зарядов к уже существующим в реальной стабильной форме квантам энергии-массы, и происходит прибавка к имеющимся в реальности квантам электрических зарядов. Макеев А. К. Синергия Сферовекторных Фракталов Мироздания. С. 630-654, 673-674

Регулярные и странные аттракторы Править

Регулярные аттракторы Править

Притягивающая неподвижная точка Править

(пример: маятник с трением)


Предельный цикл Править

(пример: микрофон+колонки, осциллятор Ван дер Поля)


Странные аттракторы Править

Файл:Lorenz-28.jpg

(примеры: аттрактор Лоренца, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)


Странный аттрактор — это аттрактор, не являющийся регулярным. Среди странных аттракторов часто встречаются хаотические аттракторы, в которых прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца.


Именные примеры Править

Аттрактор Лоренца Править

Соленоид Смейла-Вильямса Править

Основная статья: Соленоид Смейла-Вильямса


Соленоид Смейла-Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.


Аттрактор Плыкина Править

[1]


Пример Боуэна, или гетероклинический аттрактор Править

Аттрактор Эно Править

Аттрактор Макеева Править


Сферовектор, понимается как Аттрактор разного фрактального масштаба сферически симметричный или сферически асимметричный пакетный вектор-импульс относительно некоторой области-точки времени-пространствa, которая соотносительна с центральной областью-точкой, являющейся одной из бесконечного множества других подобных разного фрактального масштаба центральных областей точек в Мироздании.

Сферовектор имеет геометрически обусловленный радиальный градиент давления и фрактальный (радиальный) градиент фронта эффективного действия во времени. Чем отличается от математических понятий сфероскаляра и сферотензора, которые понимаются как расходящийся из одной точки пучок бесконечной длины векторов, действующих мгновенно на бесконечное расстояние без изменения величины эффективного действия по мере роста расстояния от истока пучка векторов. Сферовектор Макеева отличается и от стандартно понимаемого аттрактора, понимаемого как центр притяжения исключительно лишь собственными свойствами, функцией, без действенного участия времени-пространства среды нахождения, притягивает к себе частички вещества и (или) кванты физических полей. Аттрактор (Сферовектор) Макеева понимается как взаимодействие центра истока и притока векторов-импульсов энергии энергетической и информационной связи и приталкивающего, придавливающего и отталкивающего, отдавливающего взаимодействия с самим собой, со средой своего нахождения, с другими подобными центрами истока и притока векторов-импульсов энергии приталкивания, придавливания и отталкивания, отдавливания.

Сферовектор имеет две формы, обусловленные взаимным действием друг на друга: интросферовектор и экстрасферовектор. [2]

Интросферовектор есть сферически симметричный или сферически асимметричный пакетный вектор-импульс энергии, истекающей из некоторой области-точки времени-пространства во все стороны. Интросферовектор есть отдельность, находящаяся в среде времени-пространства.

Экстрасферовектор есть сферически симметричный или сферически асимметричный пакетный вектор-импульс энергии, притекающей к некоторой области-точке времени-пространства со всех сторон. Экстрасферовектор есть некоторая обширная область среды времени-пространства, в центральной области-точке которого находится интросферовектор или взаимосвязанная через интегральный, общий экстрасферовектор система интросферовоекторов.

Примеры интросферовектора.

Истекающие из электрона, протона сферически симметричный пакет струн электрического поля и магнитного поля. Сложно, по алгоритму квантовой механики (см. уравнение Шрёдингера) сферически организованная структура электронного облака атома, обусловленная действием на электронное облако интегрального электрического заряда ядра атома и в очень малой степени обусловленная действием энергии-массы ядра атома.

Приблизительно, сферически симметричное излучение квантов электромагнитного поля и частиц звёздного ветра, истекающие из звезды во все стороны.

Сложно сферически организованная система из звезды и обращающихся вокруг звезды больших и малых тел гравитационно связанной системы космических тел этой звезды.

Примеры экстрасферовектора.

Внешнее, приблизительно, изотропное давление на физическое тело и на систему взаимосвязанных тел (например, на звезду; на звезду и на все космические тела системы этой звезды) собственных структурных подквантов и квантов времени-пространства как внешнего фактора инерции-массы-гравитации.

Приток со всех сторон в электрон, протон из диэлектрика вакуума времени-пространства подквантов, струн электрической энергии и магнитной энергии, полностью восполняющих энергию-массу, истекающую из электрона, протона во все стороны в виде подквантов, струн их электрического поля и магнитного поля.

Сферический конденсатор может пониматься как модель вложенных друг в друга экстрасферовекторов и интросферовекторов. Вложенные друг в друга твёрдотельные, жидкостные, газообразные, плазменные и т.д. вихри энергии, структурированные в электропроводящие обкладки и диэлектрические прокладки сферического конденсатора, можно понимать как опорные области-точки, относительно внешней и внутренней поверхности которых истекают внутрь и вовне, и притекают изнутри и извне, приблизительно, сферически симметрично структурированные пакеты векторов-импульсов электрической энергии и струн векторов-импульсов магнитной энергии в случае вращения сферического конденсатора.

Attractor of Makeyev

Рис. 1. Графическое плоскостное изображение физической модели варианта Аттрактора (Сферовектора) Макеева в комплементарности и (или) анти комплементарности векторов энергии нескольких Интросферовекторов относительно друг друга и относительно векторов энергии Экстрасферовектора их общей среды нахождения.

Аттрактор Макеева в форме Сферовектора: Экстрасферовектора, Интросферовектора, структурных элементов Экстрасферовекторов и Интросферовекторов, например, диэлектрической опорной прокладки между обкладками, и cнаружи от обкладок подквантовых, квантовых, надквантовых плоскостных, сложных объёмных, цилиндрических и сферических электрических конденсаторов; внешней опорной диэлектрической прокладки cнаружи от самой внешней обкладки и центральной диэлектрической опоры под самой внутренней обкладкой сложно объёмных, цилиндрических и сферических электрических конденсаторов; как внешнего фактора инерции-массы-гравитации; электрических, магнитных, слабых и сильных ядерных сил и так далее; включает всё необозримое время-пространство Мироздания, как вездесущую активную форму материи, во все физические (микромира; мезомира; макромира космоса, космических тел и систем космических тел; Мироздания в целом), химические, биохимические, биофизические, физиологические, биологические, экологические, социальные, информационные, невербальные и вербальные рассудочно-мыслительные, гениальности интуитивного познавательного туннелирования через незнание и неполное знание к знанию, гносеологические и так далее явления, процессы, объекты, поля, свойства, законы, всевозможных типов, форм и разновидностей автовзаимного взаимодействия, рождения, роста, развития, бытия-жизни, трансформации, памяти, тенденции, нестабильности, распада, стабильности, туннелирования, отражения, копирования, сохранения, распространения, полевой голографии, овеществительной синтетической голографии, возрождения.

Похоже на то, что Аттрактор (Сферовектор: Экстрасферовектор и Интросферовектор) Макеева есть всеобщий Аттрактор. И все остальные типы и виды аттракторов, включая векторы, векторы-импульсы, как максимально асимметричные аттракторы (сферовекторы), а также всевозможные геометрические формы физических полей и всевозможных физических микро, мезо и макро объектов; всевозможные твёрдотельные, жидкие, газообразные, плазменные и прочие агрегатные состояния материи, во всевозможных их смесях и сочетаниях являются вариантами Аттрактора Макеева и (или) статичными, и (или) динамичными комплексами из множества аттракторов Макеева.

Пока же в науке принято, что Аттрактор никак не связан с пространством, не обменивается в пространством среды нахождения энергией. Аттрактор сам по себе, а пространство само по себе.

Аттрактор Макеева включает в себя и внешнюю причину, и внутреннюю причину строения, функции, свойств всех физических объектов и систем объектов. То есть, пространство в аттракторе Макеева есть равноправный партнёр всех физических объектов. Может быть, даже более важный партнёр, чем внутренние причины. Ибо пространство находится не только вовне физических объектов, но и во внутренних их структурах, даже в самой сердцевине их. И даже является той внутренней опорой ("домкратом"), на которую опирается вся структура физического объекта, не давая ему схлопнуться в столь малый объём, под которым этот физический объект перестанет быть физическим объектом в его нынешнем уровне пространственных размеров. И пространство является той внешней опорой ("прессом"), которая не даёт физическим объектам раздуться, распасться на мельчайшие составные отдельности и рассеяться во Вселенной.

Гипотезы Править

Гипотеза Палиса Править

Гипотезы Рюэля Править

См. также Править

Примечания Править

  1. Yu.S.Ilyashenko, Global Analysis of the Phase Portrait for the Kuramoto-Sivashinsky Equation, Journal of Dynamics and Differential Equations, Vol. 4, No, 4, 1992
  2. Макеев А. К. Синергия Сферовекторных Фракталов Мироздания. С. 503-539

Ссылки и литература Править

  • A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko, Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 6, no. 6 (1996), pp. 1177—1183.
  • А. С. Городецкий, Минимальные аттракторы и частично гиперболические множества динамических систем. Дисс. к. ф.-м. н., МГУ, 2001.
  • Электронная библиотека по нелинейной динамике
  • Статья Дж. Милнора "Аттрактор", Scholarpedia.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Аттрактор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .