ФЭНДОМ


Ба́зис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Существуют две основных разновидности определения: базис Га́меля, и базис Ша́удера. Базис Га́меля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре). В функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства, под базисом обычно понимается базис Ша́удера, понятие, основанное на разложении в ряды. В том случае, когда пространство имеет конечный базис (т.е. пространство конечномерно), обе этих разновидности совпадают.

Базис Га́меляПравить

базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), при этом ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных (линейная независимость).

Свойства Править

  • В каждом линейном пространстве существует базис (доказательство этой теоремы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора).
  • Базисами являются максимальные по включению линейно независимые системы векторов, и только они.
  • Базисами являются минимальные по включению полные системы векторов, и только они.
  • Единственная тривиальная (равная нулю) линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
  • Для любого вектора существует единственное представление в виде конечной линейной комбинации векторов базиса.
  • Мощность базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается \dim V).

Связанные определенияПравить

  • Линейное пространство называют конечномерным, если оно имеет конечный базис, и бесконечномерным, если оно не имеет конечного базиса.
  • Представление вектора в виде (конечной) линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису Гамеля.

ПримерыПравить

  • Векторы e_1, e_2,\dots,e_n пространства \R^n образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из этих векторов, не равен 0: \det\{e_1, e_2,\dots,e_n\} \neq 0.
  • В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: 1, x, x^2,\dots,x^n,\dots.
  • Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Ша́удера Править

Система векторов \{e_n\} топологического векторного пространства L называется базисом Шаудера (англ. Shauder basis), если каждый элемент f \in L разлагается в единственный, сходящийся к f ряд по \{e_n\}:

f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i ,

где f_i — числа, называемые коэффициентами разложения вектора f по базису \{e_n\}.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд) для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций \{1,\sin(2\pi nx),\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots\} является базисом Шаудера в пространстве L^2[0,1]. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a,b] Править

C[a,b]банахово пространство с нормой \|f\| = \max_{x \in [a,b]}|f(x)|. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве L^2[a,b], но не в C[a,b]. Шаудер сконструировал базис Шаудера \{e_n\} для C[a,b]. Пусть \{x_0, x_1,\dots,x_n,\dots\} — плотное счетное множество точек на [a,b], x_0=a, x_1=b, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка [a,b], упорядоченными произвольным образом. Положим: e_0=1, e_1=(x-a)/(b-a) — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию e_n(x) так, чтобы e_n(x_i)=0 при i=0,1,\dots,n-1 и e_n(x_n)=1. Точки x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n-1} разбивают [a,b] на n-1 отрезок. Точка x_n лежит строго внутри одного из них. Пусть это I_n=[x_j,x_k] для каких-то j, k \in \{0,\dots,n-1\} (порядок нумерации чисел x_0, x_1, x_2,\dots не соответствует их величине).

Файл:ShauderBasis.png

Положим:

e_n(x)=0 вне отрезка I_n=[x_j,x_k],
e_n(x)=\frac{x-x_j}{x_n-x_j} при x \in [x_j,x_n],
e_n(x)=\frac{x_k-x}{x_k-x_n} при x \in [x_n,x_k].

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции f(x) \in C[a,b] по этому базису выражаются по явным реккурентным формулам через последовательность значений f(x_i). Частичная сумма первых n+1 членов ряда

L_n(x)= \sum_{i=0}^{n} f_i e_i(x) ,

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией f(x) с узлами в точках x_0, x_1, x_2,\dots,x_{n}; формула для коэффициентов f_n =f(x_n)-L_{n-1}(x_n); \; \; f_0=f(a) (см. Рис.)

Проблема базиса Править

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

См. также Править

Литература Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Базис. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики