ФЭНДОМ


Ба́наховы пространства являются одними из важнейших объектов изучения в функциональном анализе. Они названы по имени Стефана Банаха, который их изучал.

Определение Править

Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство. Это значит, что банахово пространство — это векторное пространство V над полем вещественных или комплексных чисел с определённой в нём нормой $ \|\cdot\| $ так, что любая фундаментальная последовательность в V имеет предел, который также принадлежит V.


Примеры Править

Далее обозначим через $ K $ одно из полей $ R $ или $ C $.

  • Евклидовы пространства $ K^n $ с евклидовой нормой, определяемой для $ x=(x_1,\dots,x_n) $ как $ \|x\|=\sqrt{\sum|x_i|^2} $, являются банаховыми пространствами.
  • Пространство всех непрерывных функций $ f\colon[a,b]\to K $, определённых на закрытом интервале $ [a,b] $ будет банаховым пространством, если мы определим его норму как $ \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in[a,b]\} $. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как $ C[a,b] $. Этот пример можно обобщить к пространству $ C(X) $ всех непрерывных функций $ X\to K $, где $ X $компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций $ X\to K $, где $ X $ — любое топологическое пространство, или даже к пространству $ B(X) $ всех ограниченных функций $ X\to K $, где $ X $ — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются по сути банаховыми алгебрами. *Если $ p\geqslant 1 $ — вещественное число, можно сказать, что пространство всех бесконечных последовательностей $ (x_1,x_2,x_3,\dots $) элементов из $ K $, таких как, например, бесконечные ряды $ \sum|x_i|^p $, сходится. Если корень степени $ p $ значений этого ряда определим как $ p $-норму такой последовательности, то наше пространство с такой нормой будет являться банаховым, а обозначаться так: $ l^p $. *Банахово пространство $ l^\infty $ состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из $ K $; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных значений элементов последовательности. *Снова, если $ p\geqslant 1 $ - вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени p этого интеграла определим как норму $ f $. Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: $ f $ и $ g $ эквивалентны тогда и только тогда, когда норма f-g равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как $ L^p[a,b] $. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L p-пространства. *Если $ X $ и $ Y $ — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму $ X\oplus Y $, которое опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
  • Если $ M $ — замкнутое подпространство банахова пространства $ X $, то факторпространство $ X/M $ снова является банаховым.
  • Наконец, любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.

Типы банаховых пространствПравить

Линейные операторы Править

Если $ V $ и $ W $ — банаховы пространства над одним полем $ K $, тогда множество непрерывных $ K $-линейных отображений $ A\colon V\to W $ обозначается $ L(V,W) $. Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. $ L(V,W) $ — векторное пространство, и, если норма задана как $ \|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\|x\|\leqslant 1\} $, является также и банаховым.

Пространство $ L(V)=L(V,V) $ представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Банахово пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .