Банахово пространство

Ба́наховы пространства являются одними из важнейших объектов изучения в функциональном анализе. Они названы по имени Стефана Банаха, который их изучал.

Определение

Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство. Это значит, что банахово пространство — это векторное пространство V над полем вещественных или комплексных чисел с определённой в нём нормой $\| \cdot \|$ так, что любая фундаментальная последовательность в V имеет предел, который также принадлежит V.

Примеры

Далее обозначим через $K$ одно из полей $R$ или $C$.

• Евклидовы пространства $K^n$ с евклидовой нормой, определяемой для $x=(x_1,\dots,x_n)$ как $\|x\|=\sqrt{\sum|x_i|^2}$, являются банаховыми пространствами.
• Пространство всех непрерывных функций $f\colon[a,b]\to K$, определённых на закрытом интервале $[a, b]$ будет банаховым пространством, если мы определим его норму как $\|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in[a,b]\}$. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как $C[a, b]$. Этот пример можно обобщить к пространству $C(X)$ всех непрерывных функций $X\to K$, где $X$ — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций $X\to K$, где $X$ — любое топологическое пространство, или даже к пространству $B(X)$ всех ограниченных функций $X\to K$, где $X$ — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются по сути банаховыми алгебрами. *Если $p \geqslant 1$ — вещественное число, можно сказать, что пространство всех бесконечных последовательностей $(x_1,x_2,x_3,\dots$) элементов из $K$, таких как, например, бесконечные ряды $\sum|x_i|^p$, сходится. Если корень степени $p$ значений этого ряда определим как $p$-норму такой последовательности, то наше пространство с такой нормой будет являться банаховым, а обозначаться так: $l^p$. *Банахово пространство $l^\infty$ состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из $K$; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных значений элементов последовательности. *Снова, если $p \geqslant 1$ - вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени p этого интеграла определим как норму $f$. Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: $f$ и $g$ эквивалентны тогда и только тогда, когда норма f-g равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как $L^p[a,b]$. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L ^p-пространства. *Если $X$ и $Y$ — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму $X \oplus Y$, которое опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
• Если $M$ — замкнутое подпространство банахова пространства $X$, то факторпространство $X/M$ снова является банаховым.
• Наконец, любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.

Типы банаховых пространств

• Гильбертово пространство
• Рефлексивное пространство

Линейные операторы

Если $V$ и $W$ — банаховы пространства над одним полем $K$, тогда множество непрерывных $K$-линейных отображений $A\colon V\to W$ обозначается $L(V,W)$. Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. $L(V,W)$ — векторное пространство, и, если норма задана как $\|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\|x\|\leqslant 1\}$, является также и банаховым.

Пространство $L(V)=L(V,V)$ представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Банахово пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---