ФЭНДОМ


Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Сфера применения Править

Объектами приложения векторного анализа являются:

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

  1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
  2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
  3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое физическое истолкование.

Векторные операторы Править

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

Оператор Обозначение Описание Тип
Ротор  \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} Характеризует вихревую составляющую векторного поля. Вектор \Rightarrow вектор
Дивергенция  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. Вектор \Rightarrow скаляр
Градиент  \operatorname{grad}(f) = \nabla f Определяет направление и скорость скорейшего убывания скалярного поля. Скаляр \Rightarrow вектор
Лапласиан  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f Сочетание дивергенции с градиентом. Скаляр \Rightarrow скаляр

Основные соотношения Править

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема Запись Пояснения
Теорема о градиенте  \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина \int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса  \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен криволинейному интегралу по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк Править

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). У Гамильтона уже появилось скалярное и векторное произведение. Вскоре Гамильтон ввёл понятие векторного поля, вектор-функции, дифференциальный оператор \nablaнабла») и многие другие понятия векторного анализа.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла, заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид.

См. также Править

Литература Править

Ссылки Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Векторный анализ. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики