ФЭНДОМ


В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого с обратным знаком равен заданному векторному полю.

Формально, если v — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

 \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}.

Если A является векторным потенциалом для поля v, то из тождества

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

(дивергенция ротора равна нулю) следует

\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,

то есть v должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема Править

Пусть

\mathbf{v} : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при ||x||→∞. Определим

 \mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \nabla \times \int\limits_{\mathbb R^3} \frac{ \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d\mathbf{y}.

Тогда A является векторным потенциалом для v, то есть

\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца (англ.), согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность Править

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v, также им является

 \mathbf{A} + \nabla m

где m — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

Эта неоднозначность даёт дополнительную степень свободы в формулировке электродинамики и решается калибровкой.

Векторный потенциал в физике Править

Уравнения Максвелла Править

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал \mathbf A вводится таким образом, что

\mu_0 \mathbf H = \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A (в системе СИ).

При этом уравнение \operatorname{div} \mathbf B = 0 удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для \mathbf A в

\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}

приводит к уравнению

\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0,

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в \mathbf E вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}

Из уравнения \operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t} следует

\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right)

Используя равенство \operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j
\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\epsilon_0}

Свобода выбора калибровки потенциала Править

Легко убедиться, что преобразования

\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi
\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial\psi}{\partial t}

где ~\psi - произвольная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла. Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое калибровой потенциала. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две -- калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Калибровка Кулона Править


Калибровка Лоренца Править

Калибровкой Лоренца называют выражение:

\operatorname{div}\mathbf A+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0.

В этом случае уравнения переписываются в виде:

\Delta \mathbf A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j
\Delta \varphi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\epsilon_0}

Уравнения, записанные в таком виде удобнее использовать для решения нестационарных задач.

См. также Править

Литература по магнитному векторному потенциалу Править

  • Савельев И. В. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волна. Оптика, 1982, 496 с



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Векторный потенциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики