ФЭНДОМ


Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в линейном пространстве \mathbb V двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

  • одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в \mathbb V некоторую кривую;
  • m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в \mathbb V, вообще говоря, m-мерную поверхность;
  • векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на \mathbb V.

Вектор-функция одной скалярной переменной Править

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной \mathbf{r}(t) отображает некоторый интервал вещественных чисел t_1 \leqslant t \leqslant t_2 в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты \mathbf{{\hat{i}}}, \mathbf{{\hat{j}}}, \mathbf{{\hat{k}}}, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{{\hat{i}}}+y(t)\mathbf{{\hat{j}}}+z(t)\mathbf{{\hat{k}}}

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция \mathbf{r}(t) имеет предел \mathbf{r_0} в точке t=t_0, если \lim_{t\to t_0}|\mathbf{r}(t) - \mathbf{r_0}|= 0 (здесь и далее |\mathbf{v}| обозначают модуль вектора \mathbf{v}). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

  • Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
  • Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
  • Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру Править

Определим производную вектор-функции \mathbf{r}(t) по параметру:

\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}.

Если производная в точке t существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут x'(t),\ y'(t),\ z'(t).

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных Править

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции \mathbf{r}(u, v) (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение \mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v) имеет вид:

x = x(u,\ v);\ y = y(u,\ v);\ z = z(u,\ v)

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будут две: \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём \left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] не обращается тождественно в ноль.

Файл:Sphere-wireframe.png

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

u = u(t);\ v = v(t),

где t — параметр кривой. Зависимости u(t),\ v(t) предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

u = t;\ v = const — первая координатная линия.
u = const;\ v = t — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек (\left[\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right] нигде не обращается в ноль), то через каждую точку участка поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярной переменной см.: Теория поверхностей.

Литература Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Вектор-функция. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики