ФЭНДОМ


Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

ОпределениеПравить

Вероятностное пространство — это тройка $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $, где

Замечания Править

  • Элементарные события (элементы $ \Omega \ $), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
  • Каждое случайное событие (элемент $ \mathcal{F} $) — это подмножество $ \Omega \ $. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $ A\subset \Omega $, если (элементарный) исход эксперимента является элементом $ A $.
    Требование, что $ \mathcal{F} $ является сигма-алгеброй подмножеств $ \Omega \ $, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Конечные вероятностные пространстваПравить

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть $ \Omega \ $ — конечное множество, содержащее $ \vert \Omega \vert = n $ элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств $ \Omega \ $. Его часто символически обозначают $ 2^{\Omega} \ $. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно $ 2^{\vert \Omega \vert} $, что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

$ \mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n} $,

где $ A\subset \Omega $, и $ \vert A \vert = n_A $ - число элементарных исходов, принадлежащих $ A \ $.

В частности, вероятность любого элементарного события:

$ \mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega. $

ПримерПравить

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять $ \Omega=\{0,1\}, \mathcal{F} = \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\} $ и определить вероятность следующим образом:

$ \mathbb{P}(\{0\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{1\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{0,1\}) = 1,\; \mathbb{P}(\emptyset) = 0. $



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Вероятностное пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .