Викия

Виртуальная лаборатория

Волновая функция

206 550статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться
Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение ...

Математическая формулировка ...

Волнова́я фу́нкция (функция состояния, пси-функция, амплитуда вероятности) — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле — то же самое, что и вектор состояния.

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени равна квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния.

Физический смысл квадрата модуля волновой функции Править

Волновая функция \! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t) зависит от координат (или обобщённых координат) системы и, в общем случае, от времени, и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля \! \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2 представлял собой плотность вероятности ~\omega (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами  \! x_1=x_{01}, x_2=x_{02}, \ldots , x_n=x_{0n} в момент времени ~t:

~\omega = \frac{dP}{dV} = \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2  = \Psi^\ast\Psi.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией \! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t), можно рассчитать вероятность ~P того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема ~V: P={\int{dP}}={\int\limits_{V} {\omega}dV}={\int\limits_{V}{\Psi^\ast\Psi}dV}     ~(1).

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор физических величин, которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Принцип суперпозиции квантовых состояний Править

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями \! \Psi_1 и \! \Psi_2, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

\! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 при любых комплексных \! c_1 и \! c_2.

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией \! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + {c}_N{\Psi}_N=\sum_{n=1}^{N} {c}_n{\Psi}_n.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента ~{c}_n определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией ~{\Psi}_n.

Поэтому для нормированных волновых функций ~\sum_{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^2=1. См. также Квантовая суперпозиция.

Условия регулярности волновой функции Править

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

  1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл ~(1) станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
  2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
  3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции ~\frac{\partial \Psi}{\partial x}, ~\frac{\partial \Psi}{\partial y}, ~\frac{\partial \Psi}{\partial z}. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Свойства волновой функции Править

Отметим свойства волновой функции \! \Psi в частном случае трёхмерного пространства в декартовых координатах. В этом случае \! \Psi зависит от трёх переменных  \! x, y, z и имеет следующие свойства (справедливо только для таких волновых функций, которые являются решением уравнения Шредингера):

  1. Правило нормировки:
    {\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty} {|\Psi|}^2 dx\,dy\,dz}=1
    Правило выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией во всем пространстве равна единице.
  2. Импульс частицы в каждом из направлений \! x, y, z пропорционален первой производной волновой функции, делённой на саму волновую функцию, а именно
     {p}_x = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial x} / \Psi ;       \! {p}_y = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial y} / \Psi ;        {p}_z = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial z} / \Psi ,

    где \! {p}_x , \, {p}_y , \, {p}_z — проекции импульсов на соответствующие оси координат,  i = \sqrt -1  мнимая единица,  \hbar = {h \over 2 \pi} постоянная Планка.
  3. Кинетическая энергия частицы  ( {p}_x^2 + {p}_y^2 + {p}_z^2 ) / 2 m пропорциональна второй производной, или кривизне волновой функции, деленной на эту волновую функцию
     {E}_K = - {{\hbar}^2 \over 2 m } \left( {{\partial}^2 \Psi \over\partial x^2} + {{\partial}^2 \Psi \over\partial y^2} + {{\partial}^2 \Psi \over\partial z^2} \right) / \Psi . См. также Гамильтониан

Матричная и векторная формулировки Править

Любая функция может быть представлена, как бесконечная таблица из её значений, соответствующих каждому аргументу. Если представить в таком виде волновую функцию, то она станет столбцом координат бесконечномерного вектора в Гильбертовом пространстве, то есть, матрицей.

Одна и та же волновая функция в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов.

Функциональная (волновая), матричная и векторная формулировки математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции Править

Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантовомеханической системы, за исключением, быть может, матрицы плотности, предложенной Л.Д.Ландау, с помощью которой можно описывать системы систем, что невозможно при использовании волновой функции (в случае обычной системы матрица плотности есть тот же квадрат модуля волновой фукнции) скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции (и матрицы плотности) и только на уровне волновой функции (и матрицы плотности) возможно описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц — невозможно, и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.

Таким образом, создав квантовую механику, наука дошла до состояния, когда она смогла положить конец многовековому противопоставлению детерминизма и индетерминизма. Современная наука утверждает, в мире сочетаются детерминизм и индетерминизм, и границей между ними служит... матрица плотности или волновая функция?..

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше.

Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

См. также Править

Литература Править

  • Физический энциклопедический словарь./Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол. Д.М.Алексеев, А.М.Бонч-Бруевич, А.С.Боровик-Романов и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с., ил., 2л. цв. ил.
  • Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика: Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. — 496 с.: ил. (Физика в техническом университете/Под ред. Л.К.Мартинсона, А.Н.Морозова).

Ссылки Править

Разделы физики
Экспериментальная физика | Теоретическая физика
Механика | Специальная теория относительности | Общая теория относительности | Космология | Молекулярная физика | Термодинамика | Статистическая физика | Физическая кинетика | Электродинамика | Оптика | Акустика | Физика плазмы | Физика конденсированного состояния | Атомная физика | Квантовая физика | Квантовая механика | Квантовая теория поля | Ядерная физика | Физика элементарных частиц | Теория колебаний | Нелинейная динамика | Метрология | Астрофизика | Геофизика | Биофизика | Радиофизика | Материаловедение | Физика атмосферы | Химическая физика | Физическая химия | Математическая физика

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Волновая функция. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Викия-сеть

Случайная вики