ФЭНДОМ


Ги́льбертово простра́нство — особый тип банаховых пространств, обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай.

Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.

Названо в честь Давида Гильберта.

Связанные определенияПравить

  • Наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства H, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с H, называется размерностью пространства H.

Свойства Править

  • Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства H среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:
    
(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).
    • Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
      
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.
    • Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
      
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+
i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2.
  • Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности,
  • Теорема Рисса: Для любого непрерывного линейного функционала f на Гильбертовом пространстве  H существует единственный вектор  y \in H такой, что  f(x)=(x,y) для любого  x \in H . При этом норма линейного функционала f совпадает с нормой вектора  y:
    \|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(y,y)}.

Примеры Править

определён и конечен. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\,dx.

Для пространств \ell^2 и L^2[a,b] над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n;
(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\,dx.

См. такжеПравить

Литература Править

  • Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
  • Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Гильбертово пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики