ФЭНДОМ



Ве́ктор — элемент векторного пространства, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, подчиняющиеся определенным аксиомам. На линейном пространстве могут быть определены и дополнительные структуры/операции, такие например, как скалярное произведение, что приводит к специальным, более развитым типам линейных пространств, но их элементы продолжают называться векторами.

В современной математике векторное (линейное) пространство обычно определяется аксиоматически, что позволяет иметь дело с наиболее общим определением. Однако это ничуть не уменьшает ценности конструктивных определений, обычно более частных, которые приспособлены к нуждам конкретной области математики.

Элементарная геометрия Править

Различают понятие свободного и связанного вектора.

  • Связанный вектор или направленный отрезок — упорядочная пара точек евклидова пространства.
  • Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом, два направленных отрезка считаются эквивалентными если они:

  1. коллинеарны
  2. равны по длине
  3. одинаково направлены

Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с сответственным переносом.

Вектор как последовательность Править

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки принятого обычно в алгебре, да и математике вообще.

С другой стороны, многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т.д.), в том числе, как видно уже из последнего примера, обладающие структурой, вообще говоря, более общей, чем счётный, а тем более конечный, упорядоченный список, тем не менее удовлетворяют аксиомам векторного пространства, т.е. являются с точки зрения алгебры векторами.

Впрочем, в большинстве случаев, с которыми реально работают и которые достаточно хорошо изучены, такие объекты все-таки можно представить каким-то образом по крайней мере не более, чем счётным списком элементов (а векторные операции над объектами — соответствующими операциями над списком).

ОбозначенияПравить

Вектор, представленный набором n элементов (компонент) a_1, a_2, ..., a_n допустимо обозначить следующим способами:

\langle a_1, a_2, ..., a_n\, \rangle,\  \left ( a_1, a_2, ..., a_n\, \right ) .

Для того чтобы, подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр) используют черту сверху, стрелочку сверху жирный или готический шрифт:

\bar a,\ \vec a, \mathbf a, \mathfrak A,\  \mathfrak a.

Сложение векторов почти всегда обозначается простым знаком плюс:

\bar a + \bar b.

Умножение на число (и на линейный оператор тоже) — просто написанием рядом, без специального знака, например:

k \bar a,

причем число или линейный оператор по возможности при этом пишут слева (в некоторых случаях приходится поступать по-другому, особенно в случае умножения на оператор или матрицу).

Длина (модуль) вектора \bar a — скаляр и обозначается |\bar a|.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Гомовектор (алгебра). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики