Вектор (алгебра)

Ве́ктор — элемент векторного пространства, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, подчиняющиеся определенным аксиомам. На линейном пространстве могут быть определены и дополнительные структуры/операции, такие например, как скалярное произведение, что приводит к специальным, более развитым типам линейных пространств, но их элементы продолжают называться векторами.

В современной математике векторное (линейное) пространство обычно определяется аксиоматически, что позволяет иметь дело с наиболее общим определением. Однако это ничуть не уменьшает ценности конструктивных определений, обычно более частных, которые приспособлены к нуждам конкретной области математики.

Элементарная геометрия

Различают понятие свободного и связанного вектора.

• Связанный вектор или направленный отрезок — упорядочная пара точек евклидова пространства.
• Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом, два направленных отрезка считаются эквивалентными если они:

1. коллинеарны
2. равны по длине
3. одинаково направлены

Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с сответственным переносом.

Вектор как последовательность

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки принятого обычно в алгебре, да и математике вообще.

С другой стороны, многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т.д.), в том числе, как видно уже из последнего примера, обладающие структурой, вообще говоря, более общей, чем счётный, а тем более конечный, упорядоченный список, тем не менее удовлетворяют аксиомам векторного пространства, т.е. являются с точки зрения алгебры векторами.

Впрочем, в большинстве случаев, с которыми реально работают и которые достаточно хорошо изучены, такие объекты все-таки можно представить каким-то образом по крайней мере не более, чем счётным списком элементов (а векторные операции над объектами — соответствующими операциями над списком).

Обозначения

Вектор, представленный набором $n$ элементов (компонент) $a_1, a_2, ..., a_n$ допустимо обозначить следующим способами:

$\langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\right)$.

Для того чтобы, подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр) используют черту сверху, стрелочку сверху жирный или готический шрифт:

${\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}.$

Сложение векторов почти всегда обозначается простым знаком плюс:

${\bar {a}}+{\bar {b}}$.

Умножение на число (и на линейный оператор тоже) — просто написанием рядом, без специального знака, например:

$k{\bar {a}}$,

причем число или линейный оператор по возможности при этом пишут слева (в некоторых случаях приходится поступать по-другому, особенно в случае умножения на оператор или матрицу).

Длина (модуль) вектора $\bar{a}$ — скаляр и обозначается $|{\bar {a}}|$.

См. также

• Сопряженный вектор
• Векторная (линейная) алгебра
• Векторный анализ
• Нулевой вектор
• Единичный вектор
• Норма
• Метрика
• Базис
• Скалярное произведение
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Псевдоскалярное произведение
• Внешнее произведение

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Вектор (алгебра). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---