ФЭНДОМ


Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю \ \mathbf F, обозначают как

\ \operatorname{div} \mathbf F

или

\ \nabla \cdot \mathbf F.

Определение Править

Определение дивергенции выглядит так:

 \operatorname{div}\,\mathbf{F} 
= \lim_{S \rightarrow 0} {\mathit\Phi_{\ \mathbf F} \over V}

где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Еще более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объемом V допускается любой. Единственным требованием является ее нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определенным координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определенных случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведенные в следующем параграфе).

Определение в декартовых координатах Править

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}\ \ \

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\nabla\cdot \mathbf{F}\ \ \

Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).

Физическая интерпретация Править

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

 \operatorname{div}\,\mathbf{F} >0  — точка поля является источником
 \operatorname{div}\,\mathbf{F} <0  — точка поля является стоком
 \operatorname{div}\,\mathbf{F} =0  — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Ещё одним, быть может, несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причем картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощенной первой, количественно же являться ее обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.

Дивергенция вектора плотности тока дает минус скорость накопления заряда в обычной трехмерной физике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объема, чтобы накопиться в нем или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).

Свойства Править

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) 
+ b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )
  • Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) 
= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}), или
\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).
  • Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором:
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) 
= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} 
\;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}), или
\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).
\operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \mathcal{4}\varphi
\operatorname{div}  (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах Править

\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \operatorname{div}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right], где Hi — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, z) = 
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(A_r r) + 
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}(A_\theta) + 
\frac{\partial}{\partial z}(A_z)

Сферические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_r = 1 \\ H_\theta = r \\ H_\phi = r\sin{\theta} \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, \phi) = 
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[ A_r r^2 \right] + 
\frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ A_\theta \sin{\theta} \right] + 
\frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \big[ A_\phi\big]

Параболические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}
H_1 = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\xi}} \\ 
H_2 = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\eta}} \\ 
H_3 = \sqrt{\eta \xi} \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = 
\frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \frac{\sqrt{\xi^2+\xi\eta}}{2} \right] + 
\frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \frac{\sqrt{\eta^2+\xi\eta}}{2} \right] + 
\frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]

Эллиптические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}
H_1 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{\xi^2-1}} \\ 
H_2 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{1-\eta^2}} \\
H_3 = \sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)} 
\end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = 
\frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(\xi^2-1)} \right] +
\frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(1-\eta^2)} \right] + 
\frac{1}{\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]

Дивергенция в произвольных криволинейных координатах и ее обобщение Править

Формулу для дивергенции векторного поля в произвольных координатах (в любой конечной размерности) нетрудно получить из общего определения через предел отношения потока к объему, воспользовавшись тензорной записью смешанного произведения и тензорной формулой объема.

Существует обобщение операции дивергенции на действие не только на векторы, но и на тензоры более высокого ранга.

В общем случае дивергенция определяется через ковариантной производной:

\operatorname{div} = (\nabla\cdot) = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha\cdot, где \vec{R}^\alpha — координатные векторы.

Это позволяет находить выражения для дивергенции в произвольных координатах для векторного:

\nabla\cdot\vec{v} = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha\cdot v^i \vec{R}_i = \nabla_i v^i.

или тензорного поля:

\nabla\cdot T = \vec{R}^\alpha\nabla_\alpha \cdot T^{ij} \vec{R}_i \vec{R}_j = \vec{R}_j \nabla_i T^{ij}.

В общем случае, дивергенция понижает ранг тензора на 1.

Свойства дивергенции тензора Править

  • \nabla\cdot\vec{v}\vec{v} = \vec{v}\nabla\cdot\vec{v} + \left(\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Дивергенция. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики