ФЭНДОМ


Классическая электродинамика
Solenoid

</div>

Магнитное поле соленоида
Электричество · Магнетизм
Файл:Dipole field.jpg

Диполь — идеализированная система, служащая для приближенного описания распространения поля. Дипольное приближение основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора и отбрасывании всех членов выше первого порядка. Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае если

  1. Размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд.
  2. Член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности.
  3. В уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Типичный пример диполя — два бесконечно близких заряда, равных по величине и противоположных по знаку. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.

Дипольный момент системы Править

Файл:DipoleContour.jpg

Электрический диполь Править

Файл:Electric dipole field lines.svg

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет из себя совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора $ \vec l $, проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов $ q\, $, называется дипольным моментом: $ \vec d=q\vec l $.

Во внешнем электрическом поле $ \vec E $ на диполь действует момент сил $ {\vec E}\times{\vec d} $, который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна $ -{\vec E}\cdot{\vec d} $.

Вдали от диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием $ R $ как $ 1/R^3 $, то есть быстрее, чем у точечного заряда.

Любая электронейтральная система в некотором приближении может рассматриваться как электрический диполь с моментом $ \vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i $, где $ q_i\, $ — заряд $ i $-го элемента, $ {\vec r}_i $ — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь Править

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых изучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади $ S\, $, по которой течёт ток $ I\, $. При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину $ {\vec \mu} = I S {\vec n} $, где $ {\vec n} $ — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, с которого ток в рамке течёт против часовой стрелки.

Поле колеблющегося диполя Править

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем $ \mathbf{d}(t), $ находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях Править

Файл:Dipole.gif

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

$ \mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} + \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot \mathbf{d}) - \dot \mathbf{d}}{c R^2} + \frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ddot \mathbf{d}) - \ddot \mathbf{d}}{c^2 R} $
$ \mathbf{B} = \left[\frac{\dot \mathbf{d}}{R^2} + \frac{\ddot \mathbf{d}}{R c} , \mathbf{n} \right] = \left[\mathbf{n} , \mathbf{E} + \frac{\mathbf{d}}{R^3}\right] $,

где $ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R} $ — единичный вектор в рассматриваемом направлении, $ c $ — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

$ \mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right) $

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что $ \mathbf{d} $ является функцией одной переменной. Тогда

$ \mathbf{E} = - \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{Z} $
$ \mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatorname{rot}\,\dot\mathbf{Z} $

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

$ \mathbf{A} = - \frac{\dot \mathbf{Z}}{c}, ~~ \phi = \operatorname{div}\,\mathbf{Z} $

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне) Править

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для $ \mathbf{E} $ и $ \mathbf{B} $ существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от $ \mathbf{d} $, так как

$ \frac{\dot \mathbf{d}}{c} \approx \frac{d}{\lambda} $
$ \frac{\ddot \mathbf{d}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2} $

Выражения для полей принимают вид

$ \mathbf{B} = \frac{1}{c^2 R}[\ddot \mathbf{d},\mathbf{n}], ~~ \mathbf{B} = [\mathbf{n} , \mathbf{E}] $
$ \mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot \mathbf{d},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}] $

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол $ do $ равна

$ dI = c \frac{H^2}{4\pi}R^2 do $,

поэтому для дипольного излучения

$ dI = \frac{1}{4 \pi c^3}[\ddot \mathbf{d}, \mathbf{n}]^2 do = \frac{\ddot d^2}{4\pi c^3}\sin^2{\theta} do $

где $ \theta $ — угол между векторами $ \ddot\mathbf{d} $ и $ \mathbf{n} $. Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что $ do = 2\pi\, \sin{\theta}\, d\theta $, проинтегрируем выражение по $ d\theta $ от $ 0 $ до $ \pi $. Полное излучение равно

$ I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot\mathbf{d}}^2 $

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора $ \ddot \mathbf{d} $ на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом:

$ d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi} $

Литература Править


См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Диполь. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .