ФЭНДОМ


Дифференциа́льная фо́рма порядка k или k-форма — кососимметрическое тензорное поле типа (0,\;k) на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Э.Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как

\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}

где f_{i_1i_2\ldots i_k} — гладкие функции, dx^iдифференциал i-ой координаты x^i (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i), а \wedgeвнешнее произведение.

Пространство k-форм на многообразии M обычно обозначают \Omega^k(M).

Элементарное определение Править

Рассмотрим открытое подмножество в \mathbb{R}^n. 0-формой на нём называется гладкая функция f. При интегрировании f по m-мерному подпространству S в \mathbb{R}^n, мы записываем интеграл как

\int\limits_S f\,{\mathrm d}x^1 \ldots {\mathrm d}x^m.

Рассмотрим дифференциалы координат {\mathrm d}x^1, …, {\mathrm d}x^n как независимые объекты, а не просто символы в записи интеграла. Будем называть их базисными 1-формами. Введем умножение \wedge (внешнее умножение) для этих объектов. Базисной k-формой будем называть объект

{\mathrm d}x^{i_1} \wedge {\mathrm d}x^{i_2} \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^{i_k},\quad i_1<i_2<\ldots<i_k

Пусть умножение будет кососимметричным:

\ldots \wedge {\mathrm d}x^i \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^j \wedge \ldots = - \ldots \wedge {\mathrm d}x^j \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^i \wedge \ldots

для любых i и j. Заметим, что тогда

{\mathrm d}x^i \wedge {\mathrm d}x^i = 0.

k-формой на \mathbb{R}^n будем называть произвольную линейную комбинацию базисных k-форм, то есть k-форма имеет вид

\omega = \sum_{i_1<i_2<\ldots<i_k} f(x_1,\;\ldots,\;x_n)\,{\mathrm d}x^{i_1} \wedge {\mathrm d}x^{i_2} \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^{i_k}

Остается определить произведение произвольных k-форм. Потребуем от внешнего умножения линейности по каждому аргументу, тогда

(\omega + \varphi) \wedge \Omega = \omega \wedge \Omega + \varphi \wedge \Omega
(f\,{\mathrm d}x^I + g\,{\mathrm d}x^J)\wedge(p\,{\mathrm d}x^K + q\,{\mathrm d}x^L) =
f \cdot p\,{\mathrm d}x^I \wedge {\mathrm d}x^K +
f \cdot q\,{\mathrm d}x^I \wedge {\mathrm d}x^L +
g \cdot p\,{\mathrm d}x^J \wedge {\mathrm d}x^K +
g \cdot q\,{\mathrm d}x^J \wedge {\mathrm d}x^L,

и т. п., то есть произведение p-формы и q-формы оказывается (p+q)-формой. Фактически, произведение сумм равно сумме всех возможных произведений.

Остается только определить k-формы на гладком многообразии. Предположим, что у нас есть покрытие многообразия некоторым множеством координатных окрестностей. Определим k-формы на каждой окрестности указанным выше способом (как функции координат и их дифференциалов). k-Формой на многообразии будем называть множество k-форм в каждой координатной окрестности, согласованных с функциями перехода (для точного определения согласованности см. многообразие).

Формальное определение Править

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k — это гладкое сечение k-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Связанные определения Править

  • Для k-формы \omega^k, её внешний дифференциал это (k+1)-форма
  • d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
  • Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
  • k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
  • Факторгруппа H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1} замкнутых k-форм по точным k-формам называется k-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
  • Внутренней производной формы \omega по векторному полю \mathbf{v} называется форма
i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)

Свойства Править

  • В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как
    \omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
где dx^iдифференциал i-ой координаты x^j, а \wedgeвнешнее произведение.
  • Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k векторов.
  • Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
    \ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)
Для любой формы справедливо d(d\omega)=0. Основной теоремой о внешних производных, на которой основано большинство применений дифференциальных форм, является теорема Стокса.

Примеры Править

  • С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p многообразия M и отображающий элементы касательного пространства T_p (M) в множество вещественных чисел \R:
    \omega(p): T_p (M)\rightarrow \R
  • Форма объёма — пример n-формы на n-мерном многообразии.
  • Симплектическая форма — замкнутая 2-форма \omega на 2n-многообразии, такая что \omega^n\not=0.

ПримененияПравить

Векторный анализ Править

Основная статья: Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные опреаторы в векторном анализе Пусть Iканонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и \sigma — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на M. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на M. Тогда ротор и дивергенцию для полей на \R^3 можно представить как

\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)
\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)

Дифференциальные формы в электродинамике Править


Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}
\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}

где * — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма * \mathbf{F} также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика Править

Основная статья: Гамильтонова механика

Рассмотрим симплектическое многообразие M с заданными на нём симплектической формой \omega и функцией H, называемой функцией Гамильтона. \omega задаёт в каждой точке X \in M изоморфизм I касательного T_{X}M и кокасательного T^{*}_{X}M пространств по правилу

dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M,

где dH — 1-форма дифференциала функции H. Векторное поле I dH на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Очевидно, что функция Гамильтона является его первым интегралом, так как

dH( I dH) = \omega (I dH, I dH) = 0

В канонических координатах гамильтоново векторное поле принимает вид

\dot\mathbf{p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}
\dot\mathbf{q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}

Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F и G на M определяется по правилу

[F, G] = \omega( I dF, I dG)

Легко показать, что скобка Пуассона первых интегралов гамильтонова потока является его первым интегралом.

Вариации и обобщения Править

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная функция от k векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M со значениями в векторном расслоении \pi:E \to M определяются как сечения тензорного произведения расслоений

\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциально-значные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение T M.

Литература Править

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  • Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.


См. также Править

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики