Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка $k$ или $k$-форма — кососимметрическое тензорное поле типа $(0,\;k)$ на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Э.Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как

$\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

где $f_{i_1i_2\ldots i_k}$ — гладкие функции, $dx^i$ — дифференциал $i$-ой координаты $x^i$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером $i$), а $\wedge$ — внешнее произведение.

Пространство $k$-форм на многообразии $M$ обычно обозначают $\Omega^k(M)$.

Элементарное определение

Рассмотрим открытое подмножество в $\R^n$. 0-формой на нём называется гладкая функция $f$. При интегрировании $f$ по $m$-мерному подпространству $S$ в $\R^n$, мы записываем интеграл как

$\int\limits_S f\,{\mathrm d}x^1 \ldots {\mathrm d}x^m.$

Рассмотрим дифференциалы координат ${\mathrm d}x^1$, …, ${\mathrm d}x^n$ как независимые объекты, а не просто символы в записи интеграла. Будем называть их базисными 1-формами. Введем умножение $\wedge$ (внешнее умножение) для этих объектов. Базисной $k$-формой будем называть объект

${\mathrm d}x^{i_1} \wedge {\mathrm d}x^{i_2} \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^{i_k},\quad i_1<i_2<\ldots<i_k$

Пусть умножение будет кососимметричным:

$\ldots \wedge {\mathrm d}x^i \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^j \wedge \ldots = - \ldots \wedge {\mathrm d}x^j \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^i \wedge \ldots$

для любых $i$ и $j$. Заметим, что тогда

${\mathrm d}x^i \wedge {\mathrm d}x^i = 0$.

$k$-формой на $\R^n$ будем называть произвольную линейную комбинацию базисных $k$-форм, то есть $k$-форма имеет вид

$\omega = \sum_{i_1<i_2<\ldots<i_k} f(x_1,\;\ldots,\;x_n)\,{\mathrm d}x^{i_1} \wedge {\mathrm d}x^{i_2} \wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x^{i_k}$

Остается определить произведение произвольных $k$-форм. Потребуем от внешнего умножения линейности по каждому аргументу, тогда

$(\omega + \varphi) \wedge \Omega = \omega \wedge \Omega + \varphi \wedge \Omega$

$(f\,{\mathrm d}x^I + g\,{\mathrm d}x^J)\wedge(p\,{\mathrm d}x^K + q\,{\mathrm d}x^L) =$

$f \cdot p\,{\mathrm d}x^I \wedge {\mathrm d}x^K + f \cdot q\,{\mathrm d}x^I \wedge {\mathrm d}x^L + g \cdot p\,{\mathrm d}x^J \wedge {\mathrm d}x^K + g \cdot q\,{\mathrm d}x^J \wedge {\mathrm d}x^L,$

и т. п., то есть произведение $p$-формы и $q$-формы оказывается $(p+q)$-формой. Фактически, произведение сумм равно сумме всех возможных произведений.

Остается только определить $k$-формы на гладком многообразии. Предположим, что у нас есть покрытие многообразия некоторым множеством координатных окрестностей. Определим $k$-формы на каждой окрестности указанным выше способом (как функции координат и их дифференциалов). $k$-Формой на многообразии будем называть множество $k$-форм в каждой координатной окрестности, согласованных с функциями перехода (для точного определения согласованности см. многообразие).

Формальное определение

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени $k$ — это гладкое сечение $k$-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Связанные определения

• Для $k$-формы $\omega^k$, её внешний дифференциал это $(k+1)$-форма

• $d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
• Факторгруппа $H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется k-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы $\omega$ по векторному полю $\mathbf{v}$ называется форма

$i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)$

Свойства

• В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как

  $\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

где $dx^i$ — дифференциал $i$-ой координаты $x^j$, а $\wedge$ — внешнее произведение.

• Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от $k$ векторов.
• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)$

Для любой формы справедливо $d(d\omega)=0$. Основной теоремой о внешних производных, на которой основано большинство применений дифференциальных форм, является теорема Стокса.

• Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:

  $d i_\mathbf{v} + i_\mathbf{v} d = L_\mathbf{v}$

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке $p$ многообразия $M$ и отображающий элементы касательного пространства $T_p (M)$ в множество вещественных чисел $\R$:

  $\omega(p): T_p (M)\rightarrow \R$

• Форма объёма — пример $n$-формы на $n$-мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма $\omega$ на $2n$-многообразии, такая что $\omega^n\not=0$.

Применения

Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные опреаторы в векторном анализе Пусть $I$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и $\sigma$ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на $M$. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на $M$. Тогда ротор и дивергенцию для полей на $\mathbb R^{3}$ можно представить как

$\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)$

$\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

$\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}$

$\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}$

где $*$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $* \mathbf{F}$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Рассмотрим симплектическое многообразие $M$ с заданными на нём симплектической формой $\omega$ и функцией $H$, называемой функцией Гамильтона. $\omega$ задаёт в каждой точке $X\in M$ изоморфизм $I$ касательного $T_{X}M$ и кокасательного $T^{*}_{X}M$ пространств по правилу

$dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M$,

где $dH$ — 1-форма дифференциала функции $H$. Векторное поле $I dH$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Очевидно, что функция Гамильтона является его первым интегралом, так как

$dH( I dH) = \omega (I dH, I dH) = 0$

В канонических координатах гамильтоново векторное поле принимает вид

${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}$

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}$

Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций $F$ и $G$ на $M$ определяется по правилу

$[F, G] = \omega( I dF, I dG)$

Легко показать, что скобка Пуассона первых интегралов гамильтонова потока является его первым интегралом.

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная функция от $k$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M со значениями в векторном расслоении $\pi:E \to M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциально-значные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение $TM$.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5

• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.

• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

• Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса
• Дифференциальные формы в электродинамике