ФЭНДОМ


Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества A \subseteq X — это функция, определенная на множестве  X, которая указывает на принадлежность элемента  x \in X подмножеству A.

Термин характеристическая функция уже занят в теории вероятностей. По этой причине, почти исключительно одни вероятностники используют термин индикаторная функция для определяемой здесь функции, в то время как математикам из других областей для описания принадлежности элементов множеству больше нравится использовать термин характеристическая функция.

Определение Править

Пусть A\subseteq X — выбранное подмножество произвольного множества X. Функция \mathbf{1}_A:X\to\{0,1\}, определенная следующим образом:

\mathbf{1}_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1, &x \in A, \\
0, &x \notin A,
\end{matrix}\right.

называется индикатором множества A.

Альтернативными обозначениями индикатора множества A являются: \chi_A или \mathbf{I}_A, а иногда даже A(x). Скобка Иверсона позволяет обозначение [x \in A].

(Греческая буква \chi происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение \mathbf{1}_A может означать функцию идентичности.

Основные свойства Править

Отображение, которое связывает подмножество A \subseteq X с его индикатором \mathbf{1}_A инъективно. Если A и B — два подмножества X \ , то

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\triangle B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - 2(\mathbf{1}_{A\cap B}),
\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A.

Более общо, предположим A_1,\ldots, A_n — это набор подмножеств X. Ясно, что для любого x \in X

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех x \in X, которые не принадлежат ни одному множеству A_k и 0 иначе. Поэтому

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Разворачивая левую часть, получаем

 \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k},

где |F| — мощность F. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если Xвероятностное пространство с вероятностной мерой \mathbf{P}, а Aизмеримое множество, то индикатор \mathbf{1}_A становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности A:

E(\mathbf{1}_A)= \int\limits_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbf{P} = \int\limits_{A} d\mathbf{P} = \mathbf{P}(A).\quad

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография Править

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.

См. такжеПравить



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Индикатор (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики