Квадратная матрица

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Для квадратных матриц существует единичная матрица $E$ такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно

$EA = AE = A$

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица $A^{-1}$ такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица

$A A^{- 1} = E$

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности $(p;\;0)$ на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.