Фэндом


Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна), является самым знакомым примером квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, и затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Вентцеля, Крамерса, и Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году. В 1923, математик Гарольд Джефрис развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, Крамерс, и Бриллюен очевидно не знали эту более раннюю работу.

Вывод Править

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)

которое можно переписать в виде

\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x)

мы представим волновую фунцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

\Psi(x) = e^{\Phi(x)}

Φ должна удовлетворять уравнению

\Phi''(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)

где Φ' означает производную от Φ по x. Разделим \Phi'(x) на действительную и мнимую части вводя действительные функции A и B:

\Phi'(x) = A(x) + i B(x)

Тогда амплитуда волновой функции e^{A(x)}, а фаза — B(x). Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:

A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)
B'(x) - 2 A(x) B(x) = 0.

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням  \hbar . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого  \hbar ^ {-1} , чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка насколько это возможно.

A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i A_i(x)
B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i B_i(x)

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)
A_0(x) B_0(x) = 0

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить A_0(x) = 0 и получить

B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }

Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим B_0(x) = 0 и получим

A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }

Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}

Это очевидно, что из-за знаменателя, оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где  E = V (x) и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера, частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера, частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота

Обозначим классическую точку поворота x_1. Вблизи E=V(x_1), можно разложить \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) в ряд.

\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots

Для первого порядка получим

\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x)

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом

\Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right)

Используя асимптотики данного решения можно найти отношения между C,\theta и C_{+},C_{-}:

C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}
C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}

Что завершает построение глобального решения.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Квазиклассическое приближение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики