Фэндом


Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора. Однако здесь рассматривают не силы действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию для гармонического осциллятора, в котором присутствует параболическая потенциальная энергия.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении Править

Файл:HarmOsziFunktionen.jpg

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

\! \hat{H} = \frac{\hat p ^2 }{2 m } + \frac{m \omega^2 \hat q}{2}

В координатном представлении \hat p=-i\hbar\partial/\partial x , \hat q =x. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+\frac{m\omega^2 x^2}{2}\psi(x)=E\psi(x)

имеет решение в классе функций интегрируемых с квадратом (грубо говоря, убывающих на бесконечности).

Решение имеет вид

 \left| \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)
, n = 0, 1, 2, \ldots, функции H_nполиномы Эрмита:
H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

Энергии соответствующих уровней даются формулой

 E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right).

Данный спектр значений заслуживает внимания по двум причинам: во-первых уровнии энергии дискретны и равноотстоящи, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна \hbar\omega. Во-вторых наименьшее значение энергии равно \hbar\omega/2. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.


Операторы рождения и уничтожения Править

Основная статья: Вторичное квантование

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения:

\! {a}^+ = \frac{({p} + {i} \omega {q})} {\sqrt{2 \hbar \omega}}

Оператор уничтожения:

\! {a} = \frac{({p} - {i} \omega {q})}{\sqrt{2 \hbar \omega}}

Их коммутатор равен

\! [a, {a}^+] = {a}{a}^+ - {a}^+{a} = \frac{i}{\hbar}  ({p}{q} - {q}{p}) = 1

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

\! H = \hbar\omega({a}^+{a}+1/2)

Ангармоничный осцилляторПравить

Под ангармоничным осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармоничного осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

 H = {p^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x^2 + \lambda x^3

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

 \lambda \left({\hbar \over 2m\omega}\right)^{3\over 2} (a + a^\dagger)^3.

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутсвует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния \left| \psi_E \right\rangle равна

 \Delta E^{(2)} = \lambda^2 \left\langle \psi_E \right| x^3 {1 \over E - \hbar\omega/2} x^3 \left| \psi_E \right\rangle.

Многочастичный квантовый осцилляторПравить

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взамодействие соседних частиц по квадратичному закону:

 H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (nn)} (x_i - x_j)^2

Здесь под x_i и p_i подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс i-той частицы. Суммирование ведется только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов - бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твердом теле.

Переходы под влиянием внешней силыПравить

Под влиянием внешней силы f(t) квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (n) на другие (m). Вероятность этого перехода W_{n,m}(t) для Осцилятора без затухания даётся формулой

W_{n,m} (t) = \frac{n!}{m!} |\delta|^{2(n-m)}exp(-|\delta^2| \left ( L_n^{m-n} (|\delta|^2) \right )^2)   , где
 \delta(t) = -i l \hbar \int\limits_0^t{f(\tau) exp(i \omega \tau) d\tau}

L_m^{m-n} — полиномы Лагерра.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Квантовый гармонический осциллятор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики