Квантовый гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора. Однако здесь рассматривают не силы действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию для гармонического осциллятора, в котором присутствует параболическая потенциальная энергия.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Файл:HarmOsziFunktionen.jpg

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, n = 0 … 7. По горизонтали отложена координата x, по вертикали — значение модуля ψ. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

$\!{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {q}}}{2}}$

В координатном представлении ${\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x$ , ${\hat {q}}=x$. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)$

имеет решение в классе функций интегрируемых с квадратом (грубо говоря, убывающих на бесконечности).

Решение имеет вид

$\left|\psi _{n}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$

$,n=0,1,2,\ldots$, функции $H_n$ — полиномы Эрмита:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

Энергии соответствующих уровней даются формулой

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$.

Данный спектр значений заслуживает внимания по двум причинам: во-первых уровнии энергии дискретны и равноотстоящи, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна $\hbar \omega$. Во-вторых наименьшее значение энергии равно $\hbar\omega/2$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтожения

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения:

$\!{a}^{+}={\frac {({p}+{i}\omega {q})}{\sqrt {2\hbar \omega }}}$

Оператор уничтожения:

$\!{a}={\frac {({p}-{i}\omega {q})}{\sqrt {2\hbar \omega }}}$

Их коммутатор равен

$\![a,{a}^{+}]={a}{a}^{+}-{a}^{+}{a}={\frac {i}{\hbar }}({p}{q}-{q}{p})=1$

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

$\!H=\hbar \omega ({a}^{+}{a}+1/2)$

Ангармоничный осциллятор

Под ангармоничным осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармоничного осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

$H={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}+\lambda x^{3}$

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

$\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}(a+a^{\dagger })^{3}.$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутсвует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния $\left|\psi _{E}\right\rangle$ равна

$\Delta E^{(2)}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|x^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}x^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взамодействие соседних частиц по квадратичному закону:

$H=\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}$

Здесь под $x_i$ и $p_i$ подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс $i$-той частицы. Суммирование ведется только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов - бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твердом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы f(t) квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (n) на другие (m). Вероятность этого перехода $W_{n,m}(t)$ для Осцилятора без затухания даётся формулой

$W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(n-m)}exp(-|\delta ^{2}|\left(L_{n}^{m-n}(|\delta |^{2})\right)^{2})$, где

$\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }$

$L_{m}^{m-n}$ — полиномы Лагерра.

См. также

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Квантовый гармонический осциллятор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---