ФЭНДОМ


Ковариа́нтным ве́ктором (cиноним: кове́ктор) в дифференциальной геометрии и смежных с ней физических концепциях называется вектор кокасательного пространства, то есть 1-форма. Естественным базисом для разложения ковекторов служит дуальный базис.

Говоря проще, ковариантный вектор — это такой объект, который действует на обычный контравариантный вектор и в результате даёт число — скалярное произведение этих векторов с обычными свойствами линейности. Размерность ковекторов совпадает с размерностью их контравариантных аналогов.

  • Это определение согласовано с определением ковариантного тензора валентности 1 (см. Тензор), каковым и является ковариантный вектор (ковектор) в качестве частного случая тензора.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора ко- или самого́ касательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат, естественных для представления контравариантного вектора).

  • Возможно, было бы лучше строго придерживаться различия в понимании терминов «ковектор» и «ковариантный вектор», понимая под первым объект (вектор ко-касательного пространства — 1-форму), а под вторым — представление с нижним индексом любого объекта, однако с одной стороны — изоморфизм между ко- и просто касательным пространствами в случае (псевдо-)римановых многообразий всё равно размывает формальную границу в этом самом распространённом случае, а с другой стороны — традиция применения термина к тензорам достаточно устойчива. Кроме того, подъём-опускание индекса возможны всё-таки не во всех случаях, а при этом свойства представления будут жёстко закреплены за самим объектом.

Простое определение ковариантного вектора из учебника Ландау:

«Ковариантным вектором назы­вается всякая совокупность [равного размерности пространства количества] величин, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра».

Как видим, формально это определение описывает ковариантное представление, но содержательно описывает в качестве образца ковариантного вектора ковектор — 1-форму — градиент скаляра — для которой (как и для остальных 1-форм) именно это представление естественно.

  • Замечание: очень редко встречается противоположное применение терминов, когда термины ковариантный вектор и контравариантный вектор меняются местами по сравнению с приведенными здесь определениями. Это мотивировано, видимо, тем, что базисные векторы касательного пространства имеют нижний (то есть «ковариантный») индекс, а ко-касательного — верхний (то есть «контравариантный») индекс.

Ко- и контравариантные векторы в метрических пространствах Править

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами Править

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или 1-формы. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). То же можно сказать об 1-форме. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрикой:

 
\ v_i = g_{ij} v^j
 
\ v^i = g^{ij} v_j

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами Править

Содержательно векторы и 1-формы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для 1-форм, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам dx^i) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр \ d\varphi = (\partial_i \varphi)\,dx^i получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора \ \partial_i \varphi, являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором \ dx^i, являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой \ dx^i свёртывается с помощью метрики: \ (dx)^2 = g_{ij}\, dx^i\, dx^j , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения \ dx^i, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с \ dx^i посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы), в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для 1-формы же — ковариантное.

См. также Править

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством

Литература Править

  • Ландау Л. Д., Лившиц Е. Теория поля. — М. стр. 311.издание?



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ковариантный вектор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики