Фэндом


Коммутатором операторов \hat A и \hat B в алгебре, а также квантовой механике называется оператор [\hat A, \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Коммутатор в квантовой механике Править

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора \hat F физической величины f на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определенное значение, соответствуют собственным векторам \hat F, при этом значение величины в даном состоянии - это собственное число вектора чистого состояния:

\hat F \mathcal{j}\psi \mathcal{i}= f \mathcal{j} \psi \mathcal{i}

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определенное значение, т.е. множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

\hat F \hat G \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = g \hat F \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = g f \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = \hat G \hat F \mathcal{j} \psi \mathcal{i}

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определенного значения. Типичный пример - операторы импульса \hat p = \imath \hbar \frac {\partial}{\partial \vec r} и координат \hat r = \vec r (см. соотношение неопределенностей).

Законы сохранения Править

Собственные значения гамильтониана квантовой системы - это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

\imath \hbar \frac {\partial \psi}{\partial t} = \mathcal \hat H \psi

и определения полной производной оператора по времени

\dot {\hat f} = \hat {\dot f}

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

\dot \hat f = [\mathcal \hat H, \hat f]

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение явлется квантовым аналогом тождества

\dot f = \mathcal{f} H,f \mathcal{g}

из классической механики, где {,} - скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определенных симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определенных симметриях простанства кладется в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации Править

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

\hat r_i, \hat p_i, \hat l_i - оператор i-ой компоненты, соответсвенно, радиус-вектора, импульса и момента импульса, измеренного в единицах \hbar. \delta_{i j} - дельта Кронекера. e_{i j k} - абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.
[\hat r_i, \hat p_j] = - \imath \hbar \delta_{i j}
[\hat p, f(\vec r)] = - \imath \hbar \nabla f
[\hat l_i, \hat r_j] = \imath e_{i j k}\hat r_k
[\hat l_i, \hat p_j] = \imath e_{i j k}\hat p_k
[\hat l_i, \hat l_j] = \imath e_{i j k}\hat l_k
[\hat l^2, \hat l_i] = 0

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с ее координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин Править

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Литература Править


См. также Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Коммутатор операторов. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики