ФЭНДОМ


Контравариа́нтным ве́ктором обычно называют совокупность (столбец) координат вектора в обычном базисе (то есть его контравариантных координат) или 1-формы в том же базисе, не являющимся, правда, для нее естественным. Контравариантный вектор в дифференциальной геометрии и смежных с ней физических концепциях — это вектор касательного пространства.

  • Это определение согласовано с определением контравариантного тензора валентности 1 (см. Тензор), каковым и является контравариантный вектор (вектор касательного пространства) в качестве частного случая тензора.

Контравариантные координаты принято записывать с верхним индексом, а также — в матричной записи — в виде вектора-столбца (в отличие от записи с нижним индексом и вектора-строки для ковариантных координат и соответственно «ковариантного вектора»).

Образец контравариантного вектора — это вектор смещения, записанный в виде набора приращений координат: \ dx^i.

  • Замечание: встречается противоположное применение терминов, когда термины ковариантный вектор и контравариантный вектор меняются местами по сравнению с приведенными здесь определениями. Это мотивировано, видимо, тем, что базисные векторы касательного пространства имеют нижний (то есть «ковариантный») индекс, а ко-касательного — верхний (то есть «контравариантный») индекс. Однако это применение представляется довольно редким.

Следует заметить, что, если определен невырожденный метрический тензор, то «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или 1-формы. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать об 1-форме. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрикой:

 
\ v_i = g_{ij} v^j
 
\ v^i = g^{ij} v_j

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Содержательно же векторы и 1-формы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для 1-форм естественно разложение по дуальному базису, как например для градиента, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов, таких как dx i — естественно разложение по главному базису, так как они свертываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр \ d\phi = (\partial_i \phi)dx^i — получается (как полный дифференциал) свертыванием без участия метрики ковариантного вектора \ \partial_i \phi, являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором \ dx^i, являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; тогда как сам с собой \ dx^i свертывается с помощью метрики: \ (dx)^2 = g_{ij} dx^i dx^j , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свертывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения \ dx^i, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с \ dx^i посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор (1-форма), что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для 1-формы же — ковариантное.

  • Замечание: все эти термины применяются обычно в тензорной алгебре; подразумевается что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) есть метрика (или хотя бы псевдометрика).

См. также Править

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Контравариантный вектор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики