У этого термина существуют и другие значения, см. Параметры Ламе .
Коэффициенты Ламе в дифференциальной геометрии — коэффициенты в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий, названые в честь французского математика Габриеля Ламе
Общее определение [ ]
Пусть
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
,
z
{\displaystyle z}
— декартовы координаты . Пусть
q
1
{\displaystyle q_1}
,
q
2
{\displaystyle q_2 }
,
q
3
{\displaystyle q_3}
— произвольные ортогональные криволинейные координаты.
Пусть также справедливы соотношения:
{
x
=
φ
1
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
;
y
=
φ
2
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
;
z
=
φ
3
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
,
{\displaystyle \left\{\begin{matrix} x = \varphi_1\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right);\\ y= \varphi_2\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right); \\ z = \varphi_3\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right),\end{matrix}\right.}
где
φ
1
,
φ
2
,
φ
3
{\displaystyle \varphi_1,\; \varphi_2,\; \varphi_3}
— некоторые функции.
Дифференциал дуги в декартовых координатах имеет вид:
d
S
2
=
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
.
{\displaystyle dS^2 = \mathbf{dx}^2 + \mathbf{dy}^2 + \mathbf{dz}^2.}
Тогда можно записать дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна ):
d
S
2
=
(
∂
φ
1
∂
q
i
d
q
i
)
2
+
(
∂
φ
2
∂
q
i
d
q
i
)
2
+
(
∂
φ
3
∂
q
i
d
q
i
)
2
,
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle dS^2 = \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 +
\left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 +
\left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 , ~ i=1,2,3}
Принимая во внимание ортогональность систем координат (
d
q
i
⋅
d
q
j
=
0
{\displaystyle \mathbf{dq}_i \cdot \mathbf{dq}_j = 0}
при
i
≠
j
{\displaystyle i\ne j}
) это выражение можно переписать в виде
d
S
2
=
H
1
2
d
q
1
2
+
H
2
2
d
q
2
2
+
H
3
2
d
q
3
2
,
{\displaystyle dS^2 = H_1^2dq_1^2 + H_2^2dq_2^2 + H_3^2dq_3^2,}
где
H
i
=
(
∂
φ
1
∂
q
i
)
2
+
(
∂
φ
2
∂
q
i
)
2
+
(
∂
φ
3
∂
q
i
)
2
;
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle H_i = \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\right)^2};\ i=1,\;2,\;3}
— искомые коэффициенты Ламе.
Частные случаи [ ]
Полярные координаты [ ]
Связь полярных координат с декартовыми:
{
x
=
r
cos
φ
;
y
=
r
sin
φ
.
{\displaystyle \left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}.\end{matrix}\right.}
Коэффициенты Ламе:
H
r
=
1
;
H
φ
=
r
.
{\displaystyle \begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r. \end{matrix}}
Дифференциал дуги:
d
S
2
=
d
r
2
+
r
2
d
φ
2
.
{\displaystyle dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2.}
Цилиндрические координаты [ ]
Связь цилиндрических координат с декартовыми:
{
x
=
r
cos
φ
;
y
=
r
sin
φ
.
z
=
z
.
{\displaystyle \left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}. \\ z = z. \end{matrix}\right.}
Коэффициенты Ламе:
H
r
=
1
;
H
φ
=
r
;
H
z
=
1.
{\displaystyle \begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r; \\ H_z = 1. \end{matrix}}
Дифференциал дуги:
d
S
2
=
d
r
2
+
r
2
d
φ
2
+
d
z
2
.
{\displaystyle dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2 + dz^2.}
Сферические координаты [ ]
Связь сферических координат с декартовыми:
{
x
=
r
sin
θ
cos
φ
;
y
=
r
sin
θ
sin
φ
;
z
=
r
cos
θ
.
{\displaystyle \left\{\begin{matrix} x = r\sin{\theta}\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\theta}\sin{\varphi}; \\ z = r\cos{\theta}. \end{matrix}\right. }
Коэффициенты Ламе:
H
r
=
1
;
H
θ
=
r
;
H
φ
=
r
sin
θ
.
{\displaystyle \begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\theta = r; \\ H_\varphi = r\sin{\theta}. \end{matrix}}
Дифференциал дуги:
d
S
2
=
d
r
2
+
r
2
d
θ
2
+
r
2
sin
2
θ
d
φ
2
.
{\displaystyle dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta}d\varphi^2.}
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке . Оригинальная статья находится по адресу: Коэффициенты Ламе . Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок . Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .