ФЭНДОМ


Коэффициенты Ламе в дифференциальной геометрии — коэффициенты в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий, названые в честь французского математика Габриеля Ламе

Общее определение Править

Пусть x, y, z — декартовы координаты. Пусть q_1, q_2, q_3 — произвольные ортогональные криволинейные координаты. Пусть также справедливы соотношения:

\left\{\begin{matrix} x = \varphi_1\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right);\\ y= \varphi_2\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right); \\ z = \varphi_3\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right),\end{matrix}\right.

где \varphi_1,\; \varphi_2,\; \varphi_3 — некоторые функции.

Дифференциал дуги в декартовых координатах имеет вид:

dS^2 = \mathbf{dx}^2 + \mathbf{dy}^2 + \mathbf{dz}^2.

Тогда можно записать дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

dS^2 = \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 +
\left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 +
\left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 , ~ i=1,2,3

Принимая во внимание ортогональность систем координат (\mathbf{dq}_i \cdot \mathbf{dq}_j = 0 при i \ne j) это выражение можно переписать в виде

dS^2 = H_1^2dq_1^2 + H_2^2dq_2^2 + H_3^2dq_3^2,

где

H_i = \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\right)^2};\ i=1,\;2,\;3

— искомые коэффициенты Ламе.

Частные случаи Править

Полярные координаты Править

Связь полярных координат с декартовыми:

\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}.\end{matrix}\right.

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r. \end{matrix}

Дифференциал дуги:

dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2.

Цилиндрические координаты Править

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}. \\ z = z. \end{matrix}\right.

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r; \\ H_z = 1. \end{matrix}

Дифференциал дуги:

dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2 + dz^2.

Сферические координаты Править

Связь сферических координат с декартовыми:

\left\{\begin{matrix} x = r\sin{\theta}\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\theta}\sin{\varphi}; \\ z = r\cos{\theta}. \end{matrix}\right.

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\theta = r; \\ H_\varphi = r\sin{\theta}. \end{matrix}

Дифференциал дуги:

dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta}d\varphi^2.




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Коэффициенты Ламе. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики