ФЭНДОМ


Лагранжиа́н - вспомогательная функция, применяемая при решении задач математического программирования, в частности линейного программирования. Образуется путем прибавления к целевой функции скалярного произведения двух векторов: вектора разностей между константами ограничений и функциями ограничений и вектора (неизвестных) множителей, называемых множителями Лагранжа:

L(x, \lambda) = \varphi (x) + \sum^k_{i+1} {\lambda_i (b_i - g_i(x))}

где L(x, \lambda) — лагранжиан; \varphi (x) — целевая функция; \lambda_i (i = 1, 2, ..., k) — множители Лагранжа; k — число ограничений gi (x).

Часто величину bi полагают равной нулю; иногда знак (+) перед ∑ заменяют на (–), но при этом множители λ получаются тоже с обратным знаком. Все эти варианты эквивалентны.

Существует ряд вычислительных алгоритмов решения задач математического программирования методом Лагранжа (см. также Куна—Таккера условия).


Функция Лагранжа  \mathcal {L} [\varphi_i] динамической системы, названа в честь Жозефа Луи Лагранжа, является функцией динамических переменных  \ \varphi_i (s) и описывает уравнения движения системы. Уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

 \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

где действиефункционал  \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

{}{}{}{}\ s_\alpha обозначает множество параметров системы.

Уравнения движения, полученные посредством функциональной производной, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения движения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы. Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной Модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике. Также к ним относятся чисто математические проблемы, такие как уравнения геодезических и проблема Плато.

Пример из классической механики Править

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, \vec{x}радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0, где \nablaградиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала \vec{F}=- \nabla V(x), тогда мы получим уравнение \vec{F}=m\ddot{\vec{x}}, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению \vec{F}=d\vec{p}/dt, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля Править

В теории поля сделано различие между лагранжианом L, действие которого задаётся интегралом по времени

S = \int{L \, dt}

и плотностью лагранжиана \mathcal{L}, которую нужно интегрировать по всему фазовому пространству:

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана. Однако в последнее время плотность лагранжиана \mathcal{L} часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Оба определения лагранжиана можно получить в специальных случаях общего определения, зависящих от того, включены пространственные переменные \vec x в индекс i или в параметры s в \varphi_i(s). Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах \mathcal{L}. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электромагнитный лагранжиан Править

В общем случае лагранжиан в лагранжевой механике равен

 L = T - V

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия. Для заряженной частицы с массой m, зарядом q и скоростью v, находящейся в электромагнитном поле со скалярным потенциалом φ и векторным потенциалом A, кинетическая энергия задаётся выражением

 T = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v},

а обобщенная (зависящая и от скоростей) потенциальная энергия:

 V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}

где cскорость света. Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

 L = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}  - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} .

Лагранжиан квантовой теории поля Править

Лагранжиан квантовой электродинамики Править

Плотность лагранжиана для КЭД

 \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

где ψ — биспинор,  \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 — его дираковское сопряжение, F^{\mu\nu}тензор электромагнитного поля, Dкалибровочная ковариантная производная, и  \not \!\, D — обозначение Фейнмана для  \gamma^\sigma D_\sigma .

Лагранжиан Дирака Править

Плотность лагранжиана для дираковского поля

 \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \! \; \partial - m) \psi .

Лагранжиан квантовой хромодинамики Править

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики [1] [2] [3]

 \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n

где  D_\mu — калибровочная ковариантная производная КХД, и  F^\alpha {}_{\mu\nu} — тензор напряжённости глюонного поля.


Ссылки Править


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Лагранжиан. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики