ФЭНДОМ


Матема́тика — наука, изучающая количественные и пространственные соотношения в действительном мире и человеческом воображении. Существуют совершенно иные и весьма разнообразные трактовки предмета математики и её метода, например, большинство современных математиков придерживается мнения, что математика — это наука о следствиях из непротиворечивых наборов аксиом (см.: Философия математики и История математики). Слово «математика» произошло от греч. μάθημα, означающего «науку, знание, изучение», и греч. μαθηματικός, означающего «любовь к познанию».

Кратко об истории математики Править

Основная статья: История математики

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики  :

  1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
  2. Период элементарной математики, начинающийся в VIV веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
  3. Период математики переменных величин, охватывающий XVIIXVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
  4. Период современной математики — математики XIXXX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, годы. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Цели и методы Править

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствия чему-либо в физическом мире. Однако некоторые из исследуемых математикой объектов могут иметь прообразы в реальном мире, более или менее похожие на свои математические модели. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — цель, к которой стремится математика. Наряду с моделированием математика прибегает к обобщениям, например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство Rn , при n > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».[1]

Изучение объектов в математике происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируется список аксиом и вводятся необходимые определения, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают ценные теоремы.

Наряду с классическим подходом в современной математике успешно существуют и неклассические, в частности, конструктивная математика.

Конструктивная математика Править

Конструктивная математика может быть определена как неклассическое направление в математике, основанное на критерии конструктивности, в то время как классическая математика основана на критерии непротиворечивости. Согласно критерию непротиворечивости объект признаётся существующим, если он не содержит формально-логического противоречия. Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным».[2] Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.[3]

Основные темы математики Править

Числа Править

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

$ 1,\;2,\;\ldots $ $ 0,\;1,\;-1,\;\ldots $
Натуральные числа Целые числа
$ 1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots $ $ 1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots $
Рациональные числа Вещественные числа
$ -1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots $ $ 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots $
Комплексные числа Кватернионы

Числа — Натуральные числа — Целые числа — Рациональные числа — Вещественные числа — Комплексные числа — Гиперкомплексные числа — Кватернионы — Октонионы — Седенионы — Гипервещественные числа — Сюрреальные числа — p-адические числа — Математические постоянные — Названия чисел — Бесконечность — Базы

Преобразования Править

$ 36 \div 9 = 4 $ 96px 96px $ \int 1_S\,d\mu=\mu(S) $
Арифметика Дифференциальное и интегральное исчисление Векторный анализ Анализ
$ \frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c $ 96px 96px
Дифференциальные уравнения Динамические системы Теория хаоса

Арифметика — Векторный анализ — Анализ — Теория меры — Дифференциальные уравнения — Динамические системы — Теория хаоса — Перечень функций

Структуры Править

Теория множеств — Абстрактная алгебра — Теория групп — Алгебраические структуры — Алгебраическая геометрия — Теория чисел — Топология — Линейная алгебра — Универсальная алгебра — Теория категорий — Теория последовательностей

Пространственные отношения Править

Более наглядные подходы в математике.

128px 128px 128px
Геометрия Тригонометрия Дифференциальная геометрия
128px 128px
Топология Фракталы

Геометрия — Тригонометрия — Алгебраическая геометрия — Топология — Дифференциальная геометрия — Дифференциальная топология — Алгебраическая топология — Линейная алгебра — Фракталы

Дискретная математика Править

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

$ \forall x (P(x) \Rightarrow P(x')) $ 128px 128px 128px
Математическая логика Теория вычислимости Криптография Теория графов

Комбинаторика — Теория множеств — Теория решёток — Математическая логика — Теория вычислимостиКриптография — Дискретные функциональные системы — Теория графов — Логические исчисления

Примечания Править

  1. Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
  2. Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
  3. Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.

Онлайновые математические сервисыПравить

С каждым днём всё большее число сайтов предоставляют сервис для математических расчётов. Большинство из них пока англоязычные (напр., [1]). Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы nigma.

См. также Править

Коды в системах классификации знаний

Ссылки Править

Образовательные сайты
Дискуссионные математические форумы

Литература Править

Энциклопедии
Популярные книги
  • Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей.