ФЭНДОМ


Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен.»[1] Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н.И.Кондакова, «математическая логика – вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков)[2] Это определение соответствует определению С.К.Клини: математическая логика – это «логика, развиваемая с помощью математических методов».[3] Так же А.А.Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы».[4] Все эти определения не противоречат, но дополняют друг друга.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы A, синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами A_1, \ldots A_n выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы A и (A\to B), то выводима и формула B.

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики.

См. также Править

ПримечанияПравить

  1. С.И.Адян, Математическая энциклопедия, М.: "Советская энциклопедия", т.3, с. 568, 571.
  2. Н.И.Кондаков, Логический словарь-справочник, М.: "Наука", 1975, с. 259.
  3. С.К.Клини, Математическая логика, М., 1973, с.12.
  4. А.А.Марков, Большая Советская Энциклопедия, Изд. 3, Предмет и метод современной логики.

Литература Править

  • А. А. Марков. Элементы математической логики. — М.: Изд-во МГУ, 1984.
  • Дж. Шенфилд. Математическая логика. — М.: Наука, 1975.
  • Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М.: Просвещение, 1968. – 232 с.

Ссылки Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Математическая логика. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики