ФЭНДОМ


Файл:Simple pendulum height.png

Математи́ческий ма́ятникмеханическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

T = 2\pi \sqrt{l \over g}

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Несмотря на свою простоту, с математическим маятником связан ряд интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

Уравнение колебаний маятника Править

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

\ddot x + \omega^2\ x = 0,

где \omega ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; \omega=\sqrt{g/l}, где l ― длина подвеса, gускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т.н. гармоническое уравнение) имеет вид:

\ddot x + \omega^2x = 0.

Решения уравнения движения Править

Гармонические колебания Править

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия - координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

x = A \sin (\theta_0 + \omega t),

где A - амплитуда колебаний маятника, \theta_0 - начальная фаза колебаний, \omega - циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Нелинейный маятник Править

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

\sin \frac{x}{2} = \varkappa sn (\omega t | \varkappa),

где sn - это синус Якоби, являющийся одной из эллиптических функций 2-го рода. Для \varkappa < 1 он является периодической функцией, при малых \varkappa совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр \varkappa определяется выражением

\varkappa = \frac{\varepsilon+\omega^2}{2\omega^2},

где \varepsilon = \frac{E}{ml^2} - энергия маятника в единицах t-2.

Период колебаний нелинейного маятника

T = \frac{2\pi}{\Omega}, \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega}{K(\varkappa)},,

где K - эллиптический интеграл первого рода.

Движение по сепаратрисе Править

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

См. такжеПравить

СсылкиПравить



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Математический маятник. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики