Математический маятник

Файл:Simple pendulum height.png

Математи́ческий ма́ятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

$T = 2\pi \sqrt{l \over g}$

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Несмотря на свою простоту, с математическим маятником связан ряд интересных явлений.

• Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
• Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

$\ddot x + \omega^2\ x = 0,$

где $\omega$ ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция $x(t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; $\omega=\sqrt{g/l}$, где $l$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т.н. гармоническое уравнение) имеет вид:

$\ddot{x}+\omega^2x=0$.

Решения уравнения движения

Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия - координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

$x = A \sin (\theta_0 + \omega t),$

где $A$ - амплитуда колебаний маятника, $\theta_0$ - начальная фаза колебаний, $\omega$ - циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

$\sin \frac{x}{2} = \varkappa sn (\omega t | \varkappa),$

где sn - это синус Якоби, являющийся одной из эллиптических функций 2-го рода. Для $\varkappa < 1$ он является периодической функцией, при малых $\varkappa$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр $\varkappa$ определяется выражением

$\varkappa = \frac{\varepsilon+\omega^2}{2\omega^2},$

где $\varepsilon = \frac{E}{ml^2}$ - энергия маятника в единицах t^-2.

Период колебаний нелинейного маятника

$T = \frac{2\pi}{\Omega}, \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega}{K(\varkappa)},$,

где K - эллиптический интеграл первого рода.

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

См. также

• Физический маятник

Ссылки

• Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Математический маятник. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---