Фэндом

Виртуальная лаборатория

Матрица плотности

204 619статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Матрица плотности (оператор плотности) — один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и смешанные состояния. Основанный на понятии оператора плотности формализм был предложен Дж. фон Нейманом и независимо Л. Д. Ландау и Ф. Блохом в 1927 году.

Определение Править

Матрица плотности — это неотрицательный ядерный эрмитов оператор с единичным следом в гильбертовом пространстве. Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний.

В качестве стандартного обозначения для матрицы плотности применяется буква \rho. Матрицей плотности, отвечающим чистому квантовому состоянию |\psi\mathcal {i}, является ортогональный проектор на соответствующую волновую функцию:

\rho = |\psi \mathcal {i} \mathcal {h} \psi|.

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний  |\psi_j \mathcal {i} с вероятностью p_j, описывается оператором плотности вида

 \rho = \sum_j p_j |\psi_j \mathcal {i} \mathcal {h} \psi_j|

Среднее значение наблюдаемой A для состояния, заданного матрицей плотности \rho, представляет собой след произведения операторов A и \rho:

 \mathcal {h} A\mathcal {i} = \operatorname{Sp} (A\rho).

Несложно видеть, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой частный случай этой формулы.

Свойства Править

  • Производная по времени от оператора плотности гамильтоновой квантовой системы выражается через коммутатор с гамильтонианом в виде уравнения
     \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{\imath \hbar} [ \mathcal{H}; \rho ]

Это уравнение часто называется квантовым уравнением Лиувилля и уравнением фон Неймана.

Применение Править

Использование оператора плотности становится необходимым, если состояние квантовомеханической системы по тем или иным причинам не может быть рассмотрено как чистое. Такое положение имеет место, в частности, в квантовой статистике. При этом оператор плотности оказывается естественным аналогом фигурирующей в классической статистической механике функции распределения плотности в фазовом пространстве. Кроме того, существует трактовка квантовомеханической процедуры измерения как перехода из исходного чистого состояния |\psi\mathcal {i} в смешанное состояние

\rho = \sum_j | e_j \mathcal {i} |\mathcal {h} e_j | \psi\mathcal {i}|^2 \mathcal {h} e_j |,

где | e_j\mathcal {i} суть отвечающие выбранному полному набору измеряемых величин базисные векторы.

Численный пример Править

Рассмотрим систему, состоящую из двух частей (А и B), каждая из которых может находиться в двух состояниях 0 и 1. Вектор типа |01 \mathcal {i} означает, что подсистема А находится в состоянии 0 (пусть она стоит на первой позиции), а подсистема B — в состоянии 1.

Если система замкнута (чистое состояние), то мы можем записать для нее вектор состояния, например, в стандартном базисе:

|\psi \mathcal {i} = a |00 \mathcal {i} + b |01 \mathcal {i} + c |10 \mathcal {i} + d |11 \mathcal {i} ,

где a, b, c, d — в общем случае комплексные числа (амплитуды) и выполняется условие нормировки |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 = 1.

Вектор состояния | \psi \mathcal {i} описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел. То есть a, b, c, d могут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.

Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |Ψ><Ψ| (вектор-столбец (3.1) нужно умножить на комплексно сопряженную строку). Это матрица 4 × 4 и по диагонали в ней стоят |a|^2, |b|^2, |c|^2, |d|^2 — это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00>, |01>, |10>, |11> соответственно. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, в них содержится информация о градиентах энергии, возникающих в ней.

Состояние |\psi> может быть максимально запутанным, например, одно из них:

|\psi \mathcal {i} = {\frac {1} {\sqrt {2}}} (|00 \mathcal {i} + |11 \mathcal {i} )

Матрица плотности в этом случае равна:

 \rho = \begin{pmatrix}  {1/2} & 0 & 0 & {1/2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1/2} & 0 & 0 & {1/2} \\  \end{pmatrix}.

То есть система с равной вероятностью 1/2 находится в состояниях |00 \mathcal {i} и |11 \mathcal {i} («кот ни жив, ни мертв») — это диагональные элементы. И корреляции между этими состояниями максимальны (недиагональные элементы). Мы видим, что недиагональные элементы равны друг другу и расположены симметрично, как и должно быть для любой матрицы плотности.

При измерении этого нелокального состояния (при декогеренции) мы получим одно из двух классических локальных (сепарабельных) состояний |00  \mathcal {i} или |11  \mathcal {i} с равной вероятностью.

Существует простой способ проверить, относится ли какая-либо матрица плотности к чистому состоянию или нет. Если умножить матрицу саму на себя, и она при этом не изменится (получится та же самая матрица), то есть если выполняется равенство \rho^2 = \rho, то можно сразу сказать, что данная матрица плотности описывает чистое состояние, и для него может быть записан вектор состояния. Такие матрицы, которые не меняются при умножении самой на себя, называются идемпотентными. Таким образом, любая матрица плотности чистого состояния — идемпотентная.

Если система незамкнутая (открытая), то это смешанное состояние, и тогда она не описывается вектором состояния, но ее по-прежнему можно описать матрицей плотности. Например, максимально смешанное состояние:

 \rho = \begin{pmatrix}  {1/4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1/4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {1/4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {1/4} \\  \end{pmatrix}.

Его уже нельзя записать в виде вектора состояния (3.1). В этом случае нет корреляций между состояниями |00ñ |01ñ |10ñ |11ñ, и при измерении можно получить любое из этих состояний с равной вероятностью 1/4.

Замечу, что матрица плотности такого вида получается, если мы хотим описать состояние одной из подсистем, например А, в случае максимально запутанного состояния типа (3.2). Так, если мы возьмем частичный след по подсистеме B и получим частичную матрицу плотности размерностью 2 × 2, которая описывает подсистему А, то эта матрица плотности будет соответствовать максимально смешанному состоянию и иметь вид:

 \rho = \begin{pmatrix}  {1/2} & 0 \\ 0 & {1/2} \\  \end{pmatrix}.

Подсистема А с равной вероятностью 1/2 может находиться в состоянии |0ñ или |1ñ.

Литература Править

  • Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения, — М.: Мир, 1983. 248 c.
  • Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике.  М.: МФТИ, 2004.
  • Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. 720с. ISBN 5-03-001311-3
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5
§ 14.
  • Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, — М.: Наука 1964.

Ссылки Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Матрица плотности. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики