ФЭНДОМ


Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется матрица, умножение вектора на которую не меняет его длины.

Матрица поворота в двумерном пространстве Править

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом \theta. Положительным углам соответствует вращение против часовой стрелки.

Матрица поворота вектора в декартовой системе координат:


  M(\theta) = \begin{pmatrix} 
    \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
    \sin{\theta} & \cos{\theta} 
  \end{pmatrix}

Сам поворот происходит путём умножения вектора (описывающего вращаемую точку) на матрицу:


\vec p' = M\cdot \vec p
.

Матрица поворота в трёхмерном пространстве Править

Матрицами вращения вокруг оси декартовой правосторонней системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

  • Вращение вокруг оси x:

\begin{pmatrix} 
1 &   0           & 0           \\
0 & \cos \alpha   &  -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha
\end{pmatrix} 
,
  • Вращение вокруг оси y:

\begin{pmatrix} 
\cos \alpha   & 0 & \sin \alpha \\
   0          & 1 &  0          \\
  -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha
\end{pmatrix} 
,
  • Вращение вокруг оси z:

\begin{pmatrix} 
\cos  \alpha  &  -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
   0          & 0           & 1
\end{pmatrix} 
,

В трёхмерном пространстве для описания поворота можно использовать

  • три угла, например, углы Эйлера (\alpha,\beta,\gamma),
  • угол поворота \theta и единичный вектор оси вращения \hat{\mathbf{v}} = (x,y,z).

Матрицы поворота вектора в декартовой системе координат, соответствующие этим двум способам задания поворота:

 M(\alpha,\beta,\gamma) = \begin{pmatrix} 
    \cos \alpha \cos \beta
&   \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \sin \alpha \cos \gamma
&   \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \\
    \sin \alpha \cos \beta
&   \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma
&   \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma \\
    - \sin \beta
&   \cos \beta \sin \gamma
&   \cos \beta \cos \gamma
\end{pmatrix}

и

 M(\hat{\mathbf{v}},\theta) = \begin{pmatrix}
   \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2
 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z 
 & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y  
\\
   (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z 
 & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2
 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x
\\
   (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y
 & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x
 & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 
\end{pmatrix}

Свойства матрицы поворота Править

Если M — матрица, задающая поворот вокруг оси \vec n на угол \phi, то:

  • |M \vec v| = |\vec v| \forall  \vec v
  • M \vec n = \vec n
  • (M \vec v,\vec v) = (1-\cos\varphi)(\vec n \vec v)^2+\cos(\varphi)
  •  \operatorname{Tr}(R) = 1 + 2 \cos(\varphi) (след матрицы вращения)
  • \det  M = 1 (матрица имеет единичный определитель).
  • если строки (или столбцы матрицы) рассматривать как координаты векторов \vec a, \vec b, \vec c, то верны следующие соотношения):
    • |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1
    • \vec a \vec b = 0, \vec b \vec c = 0, \vec c \vec a = 0
    • \vec a \times \vec b = \vec c, \vec b \times \vec c = \vec a, \vec c \times \vec a = \vec b

Литература Править

  • Лурье А. И. Аналитическая механика - М.:Физматлит - 1961 г. — 824 с.

Ссылки Править





Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Матрица поворота. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики