Wikia

Виртуальная лаборатория

Матрица (математика)

Обсуждение0
204 523статьи на этой вики


Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами.

Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

Обычно матрицу обозначают Заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]», двойными прямыми линиями "||…||").

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но маленькой.

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_{ij}) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят матрица размерности n \times m подразумевая, что в матрице n строк и m столбцов.

История Править

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений Править

Cистему из m уравнений с n неизвестными

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m

можно представить в матричном виде

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ;\quad X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ;\quad B = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

и тогда всю систему можно записать так:

AX = B, где A имеет смысл таблицы коэффициентов a_{ij} cистемы уравнений.


Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнение состоит в нахождении обратной матрицы A^{-1}, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

A^{-1}AX = A^{-1}B

A^{-1}A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

X = A^{-1}B.

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами выводятся из операций над системами уравнений.

Операции над матрицами Править

Пусть a_{ij} элементы матрицы A, а b_{ij} — матрицы B.

Умножение матрицы A на число \lambda (обозначение: \lambda A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

b_{ij} = \lambda a_{ij}

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
A+B=
\begin{bmatrix}
 2 & 0 & -1\\
 1 & 3 & 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
 3 & 1 & 0\\
 8 & 2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2+3 & 0+1 & -1+0\\
1+8 & 3+2 & 0+3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 & -1\\
9 & 5 & 3
\end{bmatrix}

Вычитание матриц A - B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой

c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}
A-B=
\begin{bmatrix}
 2 & 0 & -1\\
 1 & 3 & 0
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
 3 & 1 & 0\\
 8 & 2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2-3 & 0-1 & -1-0\\
1-8 & 3-2 & 0-3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -1\\
-7 & 1 & -3
\end{bmatrix}

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица \Theta такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + \Theta = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Умножение матриц (обозначение: A B, реже со знаком умножения A\times B) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность m \times n, Bn \times k, то размерность их произведения A B = C есть m \times k. Умножение матриц не коммутативно.

F L=
  \begin{bmatrix}
    a & d \\
    b & e \\
    c & f \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    g & i & k \\
    h & j & l \\
  \end{bmatrix}
= 
  \begin{bmatrix}
    (a \cdot g  +  d \cdot h) & (a \cdot i  +  d \cdot j) & (a \cdot k  +   d \cdot l)\\
    (b \cdot g  +  e \cdot h) & (b \cdot i  +  e \cdot j) & (b \cdot k  +   e \cdot l)\\
    (c \cdot g  +  f \cdot h) & (c \cdot i  +  f \cdot j) & (c \cdot k  +   f \cdot l)\\
  \end{bmatrix}


A B=
\begin{bmatrix}
 2 & 3\\
 5 & 7
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
 -1 & 2\\
 -2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot -1 + 3 \cdot -2 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3\\
5 \cdot -1 + 7 \cdot -2 & 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-8 & 13\\
-19 & 31
\end{bmatrix}


B A=
\begin{bmatrix}
 -1 & 2\\
 -2 & 3
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
 2 & 3\\
 5 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 & -1 \cdot 3 + 2 \cdot 7\\
-2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 & -2 \cdot 3 + 3 \cdot 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
8 & 11\\
11 & 15
\end{bmatrix}


Умножение матриц ассоциативно. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: A^T) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

a^T_{ij} = a_{ji}

Если A — матрица размера m \times n, то A^T — матрица размера n \times m


Свойства матриц Править

  1. A + (B + C) = (A + B) + C
  2. A + B = B + A
  3. A(BC) = (AB)C
  4. A(B + C) = AB + AC
  5. (B + C)A = BA + CA
  6. 0 \cdot A = 0
  7. 1 \cdot A = A
  8. A_{k \times l} \cdot B_{l \times n} = C \Rightarrow c_{ij} = \sum_{k = 1}^l a_{ik} b_{kj}
  9. (A^T)^T=A
  10. (A*B)^T=B^T*A^T

Элементарные преобразования матриц Править

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

  1. Умножение строки на число отличное от нуля
  2. Прибавление одной строки к другой строке

Элеменатрные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично.

Типы матриц Править

Матрица линейного оператора Править

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис \mathbf{e}_k. Пусть \mathbf{x} — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k, где x^k — координаты вектора \mathbf{x} в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть \mathbf{A} — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k.

Вектора \mathbf{Ae}_k также разложим в выбранном базисе, получим

\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j, где a^j_kj-я координата k-го вектора из \mathbf{Ae}_k.

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j.

Выражение a^j_kx^k, заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица a^j_k при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора \mathbf{Ax}, возникшего от действия оператора \mathbf{A} на вектор \mathbf{x}, что и требовалось получить.

Обобщения Править

  • Тензор — многомерный аналог матриц

См. также Править

Литература Править

Ресурсы на сайте Eqworld:

Ссылки Править


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Матрица (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Викия-сеть

Случайная вики