Викия

Виртуальная лаборатория

Матрица (математика)

204 605статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.


Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами.

Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

Обычно матрицу обозначают Заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]», двойными прямыми линиями "||…||").

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но маленькой.

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_{ij}) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят матрица размерности n \times m подразумевая, что в матрице n строк и m столбцов.

История Править

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений Править

Cистему из m уравнений с n неизвестными

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m

можно представить в матричном виде

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ;\quad X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ;\quad B = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

и тогда всю систему можно записать так:

AX = B, где A имеет смысл таблицы коэффициентов a_{ij} cистемы уравнений.


Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнение состоит в нахождении обратной матрицы A^{-1}, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

A^{-1}AX = A^{-1}B

A^{-1}A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

X = A^{-1}B.

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами выводятся из операций над системами уравнений.

Операции над матрицами Править

Пусть a_{ij} элементы матрицы A, а b_{ij} — матрицы B.

Умножение матрицы A на число \lambda (обозначение: \lambda A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

b_{ij} = \lambda a_{ij}

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
A+B=
\begin{bmatrix}
 2 & 0 & -1\\
 1 & 3 & 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
 3 & 1 & 0\\
 8 & 2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2+3 & 0+1 & -1+0\\
1+8 & 3+2 & 0+3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 & -1\\
9 & 5 & 3
\end{bmatrix}

Вычитание матриц A - B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой

c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}
A-B=
\begin{bmatrix}
 2 & 0 & -1\\
 1 & 3 & 0
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
 3 & 1 & 0\\
 8 & 2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2-3 & 0-1 & -1-0\\
1-8 & 3-2 & 0-3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -1\\
-7 & 1 & -3
\end{bmatrix}

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица \Theta такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + \Theta = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Умножение матриц (обозначение: A B, реже со знаком умножения A\times B) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность m \times n, Bn \times k, то размерность их произведения A B = C есть m \times k. Умножение матриц не коммутативно.

F L=
  \begin{bmatrix}
    a & d \\
    b & e \\
    c & f \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    g & i & k \\
    h & j & l \\
  \end{bmatrix}
= 
  \begin{bmatrix}
    (a \cdot g  +  d \cdot h) & (a \cdot i  +  d \cdot j) & (a \cdot k  +   d \cdot l)\\
    (b \cdot g  +  e \cdot h) & (b \cdot i  +  e \cdot j) & (b \cdot k  +   e \cdot l)\\
    (c \cdot g  +  f \cdot h) & (c \cdot i  +  f \cdot j) & (c \cdot k  +   f \cdot l)\\
  \end{bmatrix}


A B=
\begin{bmatrix}
 2 & 3\\
 5 & 7
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
 -1 & 2\\
 -2 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot -1 + 3 \cdot -2 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3\\
5 \cdot -1 + 7 \cdot -2 & 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-8 & 13\\
-19 & 31
\end{bmatrix}


B A=
\begin{bmatrix}
 -1 & 2\\
 -2 & 3
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
 2 & 3\\
 5 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 & -1 \cdot 3 + 2 \cdot 7\\
-2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 & -2 \cdot 3 + 3 \cdot 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
8 & 11\\
11 & 15
\end{bmatrix}


Умножение матриц ассоциативно. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: A^T) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

a^T_{ij} = a_{ji}

Если A — матрица размера m \times n, то A^T — матрица размера n \times m


Свойства матриц Править

  1. A + (B + C) = (A + B) + C
  2. A + B = B + A
  3. A(BC) = (AB)C
  4. A(B + C) = AB + AC
  5. (B + C)A = BA + CA
  6. 0 \cdot A = 0
  7. 1 \cdot A = A
  8. A_{k \times l} \cdot B_{l \times n} = C \Rightarrow c_{ij} = \sum_{k = 1}^l a_{ik} b_{kj}
  9. (A^T)^T=A
  10. (A*B)^T=B^T*A^T

Элементарные преобразования матриц Править

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

  1. Умножение строки на число отличное от нуля
  2. Прибавление одной строки к другой строке

Элеменатрные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично.

Типы матриц Править

Матрица линейного оператора Править

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис \mathbf{e}_k. Пусть \mathbf{x} — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k, где x^k — координаты вектора \mathbf{x} в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть \mathbf{A} — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k.

Вектора \mathbf{Ae}_k также разложим в выбранном базисе, получим

\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j, где a^j_kj-я координата k-го вектора из \mathbf{Ae}_k.

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j.

Выражение a^j_kx^k, заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица a^j_k при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора \mathbf{Ax}, возникшего от действия оператора \mathbf{A} на вектор \mathbf{x}, что и требовалось получить.

Обобщения Править

  • Тензор — многомерный аналог матриц

См. также Править

Литература Править

Ресурсы на сайте Eqworld:

Ссылки Править


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Матрица (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Викия-сеть

Случайная вики