ФЭНДОМ


Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Вот эти матрицы:


\sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},

\sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},

\sigma_3 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

Вместо \sigma_1, \sigma_2,\sigma_3 иногда используют обозначение \sigma_x, \sigma_y,\sigma_z.

Часто также употребляют матрицу


\sigma_0 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix},

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей \sigma_0 образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Свойства Править

Основные соотношения Править

Эрмитовость и равенство нулю следа:

\begin{matrix}
\sigma_i^\dagger &=& \sigma_i; & \\
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0, & \quad \ i = 1, 2, 3;
\end{matrix}

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 =  \sigma_0= I,

где знак \dagger означает эрмитово сопряжение, I=  \sigma_0 единичная матрица размерности 2×2.

Правила умножения матриц Паули

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,\,\!
\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,\,\!
\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,\,\!
\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\! для i\ne j.\,\!

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

\sigma_i \sigma_j = i \epsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad  i,j,k = 1, 2, 3,

где \delta_{ij}символ Кронекера, а εijkсимвол Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0.
\end{matrix}

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Определитель матриц Паули равен −1.

Связь с алгебрами Ли Править

Коммутационные соотношения матриц i\sigma_k\! совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц i\sigma_k\;. Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства, этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике Править

В квантовой механике матрицы i\sigma_j/2\! представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

Ссылки Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Матрицы Паули. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики