Фэндом


Общая теория относительности
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Математическая формулировка ОТО
Космология

Метрика Шварцшильда описывает сферически симметричное гравитационное поле в пустоте. Гравитационное поле вращающегося тела описывается метрикой Керра.

Решение Шварцшильда описывает гравитационное поле вне шварцшильдовской (невращающейся, незаряженной) чёрной дыры.

Вид метрики Править

В координатах (x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, r, \theta, \phi) , пространственная часть которой аналогична (но не совпадает!) сферической системе координат, метрический тензор имеет вид

g = \begin{bmatrix} \left(1-\frac{r_g}{r} \right) & 0 & 0 & 0\\ 0 & -(1-\frac{r_g}{r})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} \

Интервал в этой метрике записывается как

ds^{2} = \left(1-\frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)} - r^2 \left( \sin^2\,\theta d\phi^2 + d\theta^2 \right)

где r_g = \frac{2 G m}{c^2} — так называемый гравитационный радиус тела.

Координата r не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы длина окружности с центром в начале координат в данной метрике была равна 2 \pi r. При этом, расстояние до центра даётся интегралом

\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}} > r_2 - r_1

При M\to 0 или r \rightarrow\infty метрика Шварцшильда переходит в метрику Минковского в сферических координатах, так что пространство-время вдали от массивного тела оказывается плоским. Так как g_{0 0} \le 1 при r > r_g и g_{0 0} монотонно возрастает с ростом r, то собственное время в точках вблизи тела течёт медленнее, чем вдалеке от него, то есть происходит своеобразное замедление времени массивными телами.

Дифференциальные характеристики Править

Обозначим

g_{0 0} = e^\nu, ~~ g_{1 1} = - e^\lambda

Тогда не равные нулю независимые компоненты символов Кристоффеля имеют вид

\Gamma^1_{1 1} = \frac{\lambda^\prime_r}{2},~~ \Gamma^0_{1 0} = \frac{\nu^\prime_r}{2}, ~~
\Gamma^2_{3 3} = -\sin\,\theta\,\cos\,\theta
\Gamma^0_{1 1} = \frac{\lambda^\prime_t}{2} e^{\lambda-\nu}, ~~
\Gamma^1_{2 2} = -r e^{-\lambda},~~ \Gamma^1_{0 0} = \frac{\nu^\prime_r}{2} e^{\nu-\lambda}
\Gamma^2_{1 2} = \Gamma^3_{1 3} = \frac{1}{r},~~
\Gamma^3_{2 3} = \operatorname{ctg}\,\theta,~~ \Gamma^0_{0 0} = \frac{\nu^\prime_t}{2}
\Gamma^1_{1 0} = \frac{\lambda^\prime_t}{2},~~
\Gamma^1_{3 3} = -r \sin^2\theta\,e^{-\lambda}

Инварианты тензора кривизны равны

I_1 = \left( \frac{r_g}{2 r^3} \right)^2,~~
I_2 = \left( \frac{r_g}{2 r^3} \right)^3

Тензор кривизны относится к типу D по Петрову.

Дефект массы Править

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) a, то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

m = \frac{4 \pi}{c^2} \int_0^a T_0^0 r^2 dr

В частности, для статического распределения вещества T_0^0 = \varepsilon, где \varepsilon — плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

dV = 4\pi r^2 \sqrt{g_{1 1}} dr > 4\pi r^2 dr

получим что

m = \int_0^a \frac{\varepsilon}{c^2} 4\pi r^2 dr < \int_V \frac{\varepsilon}{c^2} dV

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела. Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике Править

Метрика Шварцшильда, как переходящая на бесконечности в метрику Минковского, описывает естественную, с точки зрения удалённого наблюдателя, систему координат, однако неэффективна для изучения геометрии пространства. На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при r=0 и при r = r_g. Действительно, с точки зрения удалённого наблюдателя частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время для достижения поверхности r = r_g, однако в сопутствующей системе отсчёта видно, что, с точки зрения падающего наблюдателя, никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, а сама поверхность будет достигнута за конечное собственное время.

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь в начале координат, где обращаются в бесконечность скалярные инварианты тензора кривизны. Эта особенность не может быть устранена сменой системы координат, однако не имеет физического смысла, так как такая метрика может быть решением уравнений Эйнштейна лишь для физически бессмысленного случая точечной покоящейся массы. Во всех остальных случаях формальное продолжение метрики Шварцшильда внутрь гравитирующего тела недопустимо.

Горизонт событий Править

Пространственная поверхность r = r_g называется горизонтом событий. При более удачном выборе метрики можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий, таким образом (с точки зрения ОТО) никакая информация не может покинуть чёрную дыру. В этом смысле не удивительно, что поле вне чёрной дыры зависит лишь от одного характеризующего материю параметра — полной массы тела. Внутри горизонта событий никакие тела не могут образовывать неподвижную систему отсчёта, то есть все тела необратимо падают к центру.

Орбитальное движение Править

Литература Править


См. также Править

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики