ФЭНДОМ


Общая теория относительности
$ G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\, $
Математическая формулировка ОТО
Космология

Метрика Шварцшильда описывает сферически симметричное гравитационное поле в пустоте. Гравитационное поле вращающегося тела описывается метрикой Керра.

Решение Шварцшильда описывает гравитационное поле вне шварцшильдовской (невращающейся, незаряженной) чёрной дыры.

Вид метрики Править

В координатах

$ (x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, r, \theta, \phi) $ , пространственная часть которой аналогична (но не совпадает!) сферической системе координат, метрический тензор имеет вид

$ g = \begin{bmatrix} \left(1-\frac{r_g}{r} \right) & 0 & 0 & 0\\ 0 & -(1-\frac{r_g}{r})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} \ $

Интервал в этой метрике записывается как

$ ds^{2} = \left(1-\frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)} - r^2 \left( \sin^2\,\theta d\phi^2 + d\theta^2 \right) $

где

$ r_g = \frac{2 G m}{c^2} $ — так называемый гравитационный радиус тела. Координата r не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы длина окружности с центром в начале координат в данной метрике была равна

$ 2 \pi r $ . При этом, расстояние до центра даётся интегралом

$ \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}} > r_2 - r_1 $

При

$ M\to 0 $ или

$ r \rightarrow\infty $ метрика Шварцшильда переходит в метрику Минковского в сферических координатах, так что пространство-время вдали от массивного тела оказывается плоским. Так как

$ g_{0 0} \le 1 $ при

$ r > r_g $ и

$ g_{0 0} $ монотонно возрастает с ростом

$ r $ , то собственное время в точках вблизи тела течёт медленнее, чем вдалеке от него, то есть происходит своеобразное замедление времени массивными телами.

Проверка решения Шварцшильда Править

Формула метрики Шварцшильда получена теоретически после долгого вывода и многих предположений.

Каждое решение задачи должно проходить проверку, для вывода о правильности результата.

Такой проверкой является решение с помощью полученной формулы интервала для луча света вдоль радиуса.

Исходным положением в Теории Относительности является определение расстояния

как произведение скорости света на время, затраченное светом на преодоление этого пространства.

Подставим в полученную формулу нулевые приращения углов  

$ d\theta=0 $
$ d\phi = 0 $

Тогда 

$ ds^{2} = \left(1-\frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)} $

Направим луч света вдоль радиуса. За время

$ dt $

луч пройдёт расстояние

$ dr =сdt $

кроме того для луча света интервал равен нулю :

$ ds^2=0 $

При этих подстановках уравнение будет: 

$ 0 =ds^{2} = \left(1-\frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{\left(cdt\right)^2}{\left(1-\frac{r_g}{r}\right)} $

Видно, что уравнение при этих условиях выполняется при расстоянии

$ r \rightarrow\infty $

Решение Шварцшильда непригодно для применения в Гравитации. 

____________________________


Обозначим

$ g_{0 0} = e^\nu, ~~ g_{1 1} = - e^\lambda $

Тогда не равные нулю независимые компоненты символов Кристоффеля имеют вид

$ \Gamma^1_{1 1} = \frac{\lambda^\prime_r}{2},~~ \Gamma^0_{1 0} = \frac{\nu^\prime_r}{2}, ~~ \Gamma^2_{3 3} = -\sin\,\theta\,\cos\,\theta $
$ \Gamma^0_{1 1} = \frac{\lambda^\prime_t}{2} e^{\lambda-\nu}, ~~ \Gamma^1_{2 2} = -r e^{-\lambda},~~ \Gamma^1_{0 0} = \frac{\nu^\prime_r}{2} e^{\nu-\lambda} $
$ \Gamma^2_{1 2} = \Gamma^3_{1 3} = \frac{1}{r},~~ \Gamma^3_{2 3} = \operatorname{ctg}\,\theta,~~ \Gamma^0_{0 0} = \frac{\nu^\prime_t}{2} $
$ \Gamma^1_{1 0} = \frac{\lambda^\prime_t}{2},~~ \Gamma^1_{3 3} = -r \sin^2\theta\,e^{-\lambda} $

Инварианты тензора кривизны равны

$ I_1 = \left( \frac{r_g}{2 r^3} \right)^2,~~ I_2 = \left( \frac{r_g}{2 r^3} \right)^3 $

Тензор кривизны относится к типу D по Петрову.

Дефект массы Править

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) a, то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

$ m = \frac{4 \pi}{c^2} \int_0^a T_0^0 r^2 dr $

В частности, для статического распределения вещества

$ T_0^0 = \varepsilon $ , где

$ \varepsilon $ — плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

$ dV = 4\pi r^2 \sqrt{g_{1 1}} dr > 4\pi r^2 dr $

получим что

$ m = \int_0^a \frac{\varepsilon}{c^2} 4\pi r^2 dr < \int_V \frac{\varepsilon}{c^2} dV $

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела. Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике Править

Метрика Шварцшильда, как переходящая на бесконечности в метрику Минковского, описывает естественную, с точки зрения удалённого наблюдателя, систему координат, однако неэффективна для изучения геометрии пространства. На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при

$ r=0 $ и при

$ r = r_g $ . Действительно, с точки зрения удалённого наблюдателя частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время для достижения поверхности

$ r = r_g $ , однако в сопутствующей системе отсчёта видно, что, с точки зрения падающего наблюдателя, никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, а сама поверхность будет достигнута за конечное собственное время.

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь в начале координат, где обращаются в бесконечность скалярные инварианты тензора кривизны. Эта особенность не может быть устранена сменой системы координат, однако не имеет физического смысла, так как такая метрика может быть решением уравнений Эйнштейна лишь для физически бессмысленного случая точечной покоящейся массы. Во всех остальных случаях формальное продолжение метрики Шварцшильда внутрь гравитирующего тела недопустимо.

Горизонт событий Править

Пространственная поверхность

$ r = r_g $ называется горизонтом событий. При более удачном выборе метрики можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий, таким образом (с точки зрения ОТО) никакая информация не может покинуть чёрную дыру. В этом смысле не удивительно, что поле вне чёрной дыры зависит лишь от одного характеризующего материю параметра — полной массы тела. Внутри горизонта событий никакие тела не могут образовывать неподвижную систему отсчёта, то есть все тела необратимо падают к центру.

Орбитальное движение Править

Литература Править


См. также Править