ФЭНДОМ


Система

$ \dot q(t)=F(t)q(t)+G(t)y(t)+H(t)u(t) $ (1)
$ z(t)=K(t)q(t)+L(t)y(t)+M(t)u(t)\! $ (2)

является наблюдателем для системы

$ \dot x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) $ (3),
$ y(t)=C(t)x(t)\! $ (4),

если для каждого начального состояния $ x(t_0)\! $ системы (3)-(4) существует начальное состояние $ q_0\! $ для системы (1)-(2), такое, что равенство $ q(t_0)=q_0\! $ приводит к $ z(t)=x(t), t \ge t_0 $ при всех управлениях $ u(t), t \ge t_0 $.

Здесь $ A(t), B(t), C(t), F(t), G(t), H(t), K(t), L(t), M(t)\! $матрицы соответствующей размерности.

Если размерность $ q(t)\! $ равна размерности $ x(t)\! $ и выполнение условия $ q(t_0)=x(t_0)\! $ дает $ q(t)=x(t), t \ge t_0 $ при всех управлениях $ u(t), t \ge t_0 $, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. $ n\! $-мерный вектор $ x(t)\! $, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени $ t\! $. $ r\! $-мерный вектор $ u(t)\! $ описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

$ l\! $-мерный вектор $ y(t)\! $ представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно $ l<n\! $. $ y(t)\! $ называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда $ F(t)=A(t)-K(t)C(t)\! $, $ G(t)=K(t)\! $, $ H(t)=B(t)\! $, где $ K(t)\! $ является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

$ \dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)] $ (5).

Матрица $ K(t)\! $ называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде $ \dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)] $, откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы $ A(t)-K(t)C(t)\! $.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления $ K\! $, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы $ A-KC\! $, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

$ e(t)=x(t)-q(t)\! $

удовлетворяет дифференциальному уравнению

$ \dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t) $.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

$ e(t) \to 0 $ при $ t \to 0 $

для всех $ e(t_0)\! $ тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления $ K\! $, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной $ y(t)\! $.

Примечания Править

См. также Править

Ссылки Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Наблюдатель (динамические системы). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .