ФЭНДОМ


Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств L^p.

Формулировка Править

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) — пространство с мерой, а L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu) — пространство функций вида f:X \to \mathbb{R} с конечной интегрируемой p-ой степенью. Тогда в последнем определена норма

\|f\|_p = \left( \; \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}.

где p \ge 1 , обычно подразумевается, что это натуральное число.


Пусть f \in L^p, а g \in L^q, где p,q \ge 1,\; 1/p + 1/q = 1. Тогда f \cdot g \in L^1, и

\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.

Частные случаи Править

Неравенство Коши — Буняковского Править

Положив p = q = 2, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства L^2.

Евклидово пространство Править

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. L^p-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

 \sum\limits_{i=1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^q \right)^{1/q},\; \forall x,y \in E.

Пространство lp Править

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, mсчётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

называется l^p. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q.

Вероятностное пространство Править

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

 \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q.

См. также Править

Ссылки Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Неравенство Гёльдера. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики