Фэндом


Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца, хотя работы Шварца (нем.) на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка Править

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением \langle x, y \rangle. Пусть \|x\| — норма, порождённая скалярным произведением, то есть \|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle},\; \forall x \in L. Тогда для любых x,y\in L имеем

|\langle x, y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\|,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии Править

В конечномерном случае можно заметить, что \|x\|^2\|y\|^2 - \langle x, y\rangle^2 = S(x,y)^2, где S(x,y)площадь параллелограмма, натянутого на векторы x и y.

В общем случае \|x\|^2- {\langle x, y\rangle^2\over \|y\|^2} = \|x - {\langle x,y\rangle \over\|y\|^2}y\|^2

Примеры Править

 \left| \sum\limits_{k=1}^{\infty} x_k \bar{y}_k \right| ^2 \le  \left( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^2 \right),
где \bar{y}_k обозначает комплексное сопряжение y_k.
\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leq \left(\int\limits_X \left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right) \cdot \left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).
\mathrm{cov}^2(X,Y) \le \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y],
где \mathrm{cov} обозначает ковариацию, а \mathrm{D} дисперсию.

Доказательство Править

0\le\langle\lambda x+y,\lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x,x\rangle+2\lambda\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle \Rightarrow

Значит дискриминант многочлена \lambda^2\langle x,x\rangle+2\lambda\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle неположительный, то есть

D=(2\langle x,y\rangle)^2-4\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle\le 0\Rightarrow
|\langle x,y\rangle|\le \|x\|\cdot\|y\|.

Литература Править

  1. Bounjakowsky W., «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Неравенство Коши — Буняковского. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики