Фэндом


Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой p-ой степенью.

Формулировка Править

Пусть (X,\mathcal{F},\mu)пространство с мерой, и функции f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu), то есть \int\limits_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu < \infty, где p \ge 1, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu), и более того:

\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}.

Замечание Править

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве L^p(X,\mathcal{F},\mu) можно ввести норму:

\|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p},

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи Править

Евклидово пространство Править

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. L^p-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E.

Если n = 2,3 и p = 2, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство lp Править

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, mсчётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

называется l^p. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p.

Вероятностное пространство Править

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p}.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Неравенство Минковского. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики