Фэндом



Норма — структура длины векторов на линейном пространстве.

Норма в векторном линейном пространстве L\ над полем вещественных или комплексных чисел есть функция p\colon L \to \mathbb{R}, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомы нормы):

  1. p(x) \geqslant 0, причём p(x)=0 только при ~=0;
  2. p(x+y) \leqslant p(x)+p(y) для всех x, y \in L (неравенство треугольника);
  3. p(\alpha x)=|\alpha|p(x) для любого скаляра \alpha.

Норма ~x обычно обозначается \|x\|. Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Аксиома 2 обеспечивает выпуклость шаров \|x\| < R, аксиома 3 — кроме прочего, их центральную симметрию.

Любой ненулевой вектор (в частности функцию) конечной нормы можно нормировать, поделив его на значение его нормы (после чего он станет нормированным). Также, нередко применяется выражение «нормированный на», подразумевающее, что норма объекта равна в этом случае не единице, а другой определенной величине. Например, иногда говорят о нормировании на дельта-функцию, когда речь идет о нормировании базиса функций, нумерованного непрерывным параметром.

Примеры норм в линейных пространствах Править

\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.

где p \geqslant 1 (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:

  • \|x\|_1 = \sum_{i} |x_{i}|
  • \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i} |x_{i}|^2} (евклидова норма),
  • \|x\|_\inf = \max |x_{i}| (предельный случай).
  • Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив |f(x)|\ на \|f(x)\|\ , а интегрирование по отрезку интегрированием по области.

Топология пространства и норма Править

Норма задаёт на пространстве метрику, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B(x,r)=\{y\colon\|x-y\|<r\}. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

Эквивалентность норм Править

Две нормы p и q на пространстве L называются эквивалентными, если существует две положительные константы C_1 и C_2 такие, что для любого x \in L выполняется C_1 p(x) \leqslant q(x) \leqslant C_2 p(x). Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Операторная норма Править

Норма оператора A — число, которое определяется, как:

\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|,
где A — оператор, действующий из нормированного пространства L в нормированное пространство K.
  • Свойства операторных норм:
  1. \|A\| \geqslant 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|, где \alpha\in\mathbb{R};
  3. \|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|.

Матричная норма Править

Нормой матрицы A называется действительное число \|A\|, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. \|A\| \ge 0, причём \|A\| = 0 только при A = 0\ ;
  2. \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|, где \alpha\in\mathbb{R};
  3. \|A + B\| \le \|A\| + \|B\|;
  4. \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Виды матричных норм Править

  1. m-норма: \|A\|_m = \max_i \sum_j |a_{ij}|
  2. l-норма: \|A\|_l = \max_j \sum_i |a_{ij}|
  3. Евклидова норма: \|A\|_E = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2}
  4. Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов): \|A\|_2 = \max_i \sigma_i (A)

См. также Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Норма вектора. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики