ФЭНДОМ


Обратная задача — тип задач, часто возникающий в многих разделах науки, когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных.

Примеры обратных задач можно найти в следующих областях: геофизика, астрономия, медицинская визуализация, компьютерная томография, дистанционное зондирование Земли, спектральный анализ и задачи по неразрушающему контролю.

Обратные задачи являются некорректно поставленными задачами. Из трёх условий корректно поставленной задачи (существование решения, единственность решения и его устойчивость) в обратных задачах наиболее часто нарушается последнее. В функциональном анализе обратная задача представляется в виде отображения между метрическими пространствами. Обратные задачи обычно формулируются в бесконечномерных пространствах, но ограничение на конечность измерений и целесообразность вычисления конечного числа неизвестных параметров приводят к изменению задачи в дискретной форме. В этом случае используют метод регуляризации для того, чтобы избежать переобучения.

Линейная обратная задача Править

Линейная обратная задача может быть описана в следующем виде:

\ d = G(m),

где G — линейный оператор, описывающий явные отношения между данными и параметрами модели, и представляющий собой физическую систему. В случае дискретной линейной обратной задачи, описывающей линейную систему, d и m являются вектор, что позволяет следующее представление задачи:

\ d = Gm,

где G является матрицей.

Примеры Править

Примером линейной обратной задачи служит интегральное уравнение Фредгольма первого порядка.

 d(x) = \int\limits_a^b g(x,y)\,m(y)\,dy

Для существенно гладкого g определённый выше оператор является компактным на таких банаховых пространствах, как Пространства L^p. Даже если отображение является взаимно однозначным, обратная функция не будет непрерывной. Таким образом, даже маленькие ошибки в данных d будут сильно увеличены в решении m. В этом отношении обратная задача по определению m из измеренных данных d будет являться некорректной.

Для получения численного решения необходимо аппроксимировать интеграл с помощью численного интегрирования и дискретных данных. Результирующая система линейных уравнений будет некорректно поставленной задачей.

Преобразование Радона также является примером линейной обратной задачи.

Нелинейная обратная задача Править

В нелинейных обратных задачах ставятся более сложные отношения между данными и моделью, которые описываются уравнением:

\ d = G(m).

Здесь G представляет собой нелинейный оператор, который не может быть приведён к виду линейного отображения, переводящего m в данные. Линейные обратные задачи были полностью решены с теоретической точки зрения в конце XIX века, из нелинейных до 1970 года был решён только один класс задач — задача обратного рассеяния. Существенный вклад внесла российская математическая школа (Крейн, Гельфанд, Левитан).

Ссылки Править

Международные научные журналы Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Обратная задача. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики