Фэндом

Виртуальная лаборатория

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

204 619статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x), \qquad ( 1 )

где \hbarпостоянная Планка, \! m — масса частицы, \! U(x) — потенциальная энергия, \! E — полная энергия, \! \psi(x)волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения \! ( 1 ) надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала \! [a,b]

\alpha_1\psi(a)+\beta_1\frac{d\psi(a)}{dx}=\gamma_1, \qquad ( 2 )
\alpha_2\psi(b)+\beta_2\frac{d\psi(b)}{dx}=\gamma_2, \qquad ( 3 )

где \! \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma_1, \gamma_2 — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения \! ( 1 ), с граничными условиями \! ( 2 ) и \! ( 3 ).

Общие свойства Править

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности.

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=1. \qquad ( 0a )
Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция x. В одномерном случае, если волновая функция \! \psi(x)\sim1/x^\alpha при \! x\longrightarrow +\infty, то показатель степени в соответствии с выражением
\! \int^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=\int^{+\infty}1/x^{2\alpha}dx=1/x^{2\alpha-1}\mid^{+\infty} \longrightarrow 0, \qquad ( 0b )
должен удовлетворять неравенству \! \alpha>1/2.

Интегрирование уравнения \! ( 1 ) в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

\int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}dx= \frac{2m}{\hbar^2}\int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}(U(x)-E)\psi(x)dx, \qquad ( 0c )

из которого в пределе \! \varepsilon\longrightarrow 0 следует

\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =0, \qquad ( 0d )

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией (\! U(x)=-G\delta(x-a)), то условие \! ( 0c ) принимает вид

\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =\frac{2m}{\hbar^2}(-G)\psi(a). \qquad ( 0e )

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения Править

В общем виде решения уравнения \! ( 1 ), с граничными условиями \! ( 2 ) и \! ( 3 ) не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения \! ( 1 ).

Решение для свободной частицы — плоские волны Править

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение \! ( 1 ) принимает особенно простой вид

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x). \qquad ( 4 )

Для этого уравнения решением является суперпозиция плоских волн

\psi(x)=C_1 e^{i\sqrt{2mE/\hbar}x}+C_2 e^{-i\sqrt{2mE/\hbar}x}. \qquad ( 5 )

Здесь энергия \! E может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Константы \! C_1 и \! C_2 определяются из условия нормировки.

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Править

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения \! ( 1 ) с потенциальной энергией \! U(x), которая равна нулю в интервале \! (0,a) и становится бесконечной в точках \! 0 и \! a. На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с \! ( 4 ). Граничные условия \! ( 2 ), \! ( 3 ) для волновой функции запишутся в виде

\! \psi(0)=0, \qquad ( 6 )
\! \psi(a)=0. \qquad ( 7 )

Ищем решения в виде \! A\sin{(\sqrt{2mE/\hbar}x+\delta)}. С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии \! E_n

\! E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n^2 \qquad ( 8 )

и собственных функций с учётом нормировки

\! \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{\pi n}{a}x}. \qquad ( 9 )


Численные решения Править

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении \! ( 1 ) уже не позволяет найти аналитическое решение и, поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение \! ( 1 ) заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках \! x_n, а именно, заменяя вторую производную по формуле
\! \frac{d^2y(x)}{dx^2}=\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}, \qquad ( 10 )

где \! hшаг дискретизации, \! n — номер узла сетки, получим

\! -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}+U_ny_n=Ey_n, \qquad ( 11 )

где \! U_n — значение потенциальной энергии \! U(x) на узлах сетки. Пусть \! a некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение \! ( 11 ) можно записать в безразмерном виде

\! -y_{n-1}+(2+\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2})y_n-y_{n+1}=h^2\frac{2ma^2E}{\hbar^2}y_n. \qquad ( 12 )

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии \! v_n=\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2} и собственные значения \! e=h^2\frac{2ma^2E}{\hbar^2}, то уравнение \! ( 12 ) упростится

\! -y_{n-1}+(2+v_n-e)y_n-y_{n+1}=0. \qquad ( 13 )

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов \! n.

Программный код Править

Используя уравнение в конечных разностях \! ( 13 ) запишем дискретный аналог для уравнения \! ( 1 ) с нулевым потенциалом

\! -y_{n-1}+(2-e)y_n-y_{n+1}=0. \qquad ( 14 )

Следующий программный код (Matlab) предназначен для решения уравнения \! ( 14 ) с нулевой потенциальной энергией и граничными условиями \! ( 2 ), \! ( 3 ).

 clear;
 
 %Размер матрицы
 N=400;
 %Число собственных значений
 Roots=4;
 %правая граница
 a=10;
 %Шаг дискретизации
 step=a/(N+1);
 %Сетка
 s=step:step:a-step;
 %Потенциальная энергия
 v=0*s;
 %Трёхдиагональная матрица
 for i=1:N
     A(i,i)=2+v(i)*step*step;
 end
 for i=1:N-1
     A(i,i+1)=-1;
     A(i+1,i)=-1;
 end
 
 %Вычисление собственных значений и собственных векторов
 [psi,e]=EIGS(A,Roots,'SM');
 for i=1:Roots
     e(i,i)=e(i,i)/(step*step);
 end
 %Вывод
 e
 plot(s,psi(:,1),'k',s,psi(:,2),'b',s,psi(:,3),'g',s,psi(:,4),'r')

Собственные значения

 e =
 
     1.5790         0         0         0
          0    0.8882         0         0
          0         0    0.3948         0
          0         0         0    0.0987

На рисунке представлены четыре волновые функции, соответствующие собственным значениям \! e.

Файл:Wave functions.png

Литература Править

  • Н. Н. Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978.

Ссылки Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики