Фэндом


Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор A на гильбертовом пространстве H с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т.е. для которого существует такой ортонормированный базис \{e_i\colon i \in I\} в H, что

\sum_{i\in I} \|Ae_i\|^2 < \infty.

Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта Править

Пусть A и B — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как

\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{tr}\,A^T\!B
= \sum_{i \in I} \langle Ae_i, Be_i \rangle.

где \operatorname{tr} обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:

\lVert A \rVert_\mathrm{HS}^2 = 
\sum_{i \in I} \lVert Ae_i \rVert^2.

Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.

Свойства Править

Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторониий *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на H. Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на H, множество тогда и только тогда, когда H конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

H^* \otimes H,

где H^* — пространство, сопряженное к H.


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор Гильберта — Шмидта. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики