ФЭНДОМ


Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом \ \Delta. Функции F\ он ставит в соответствие функцию \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F.

Оператор Лапласа часто записывается следующим образом \nabla^2, то есть скалярное произведение оператора Набла на себя. Это также показывает, что оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: \Delta=\nabla\cdot\nabla=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}.

В разных координатах Править

  • В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве q_1,\ q_2,\ q_3:
    \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
    =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
где H_i\ коэффициенты Ламе.
или
 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.
  • В случае если f=f(r)
     \Delta = \partial^2_r + {(n-1) \over r} \partial_r

Применение Править

Через данный оператор удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение, хотя наиболее простой вид последнее принимает с использованием оператора Д'Aламбера (Даламбертиана). Впрочем, последний представляет собой не более, чем оператор Лапласа в пространстве Минковского (формально пространство Минковского можно ввести для любого поля, подчиняющегося волновому уравнению, хотя, конечно, параметр c может быть в каждом конкретном случае своим, например, скорость звука).

В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, пленок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся в непрерывном пределе к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщенияПравить

См. также Править




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор Лапласа. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики