Virtual Laboratory Wiki
Регистрация
Advertisement

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .

Оператор Лапласа часто записывается следующим образом , то есть скалярное произведение оператора Набла на себя. Это также показывает, что оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: .

В разных координатах[]

  • В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве :
где коэффициенты Ламе.
  • В цилиндрических координатах (в трехмерном пространстве) вне прямой :
  • В сферических координатах (в трехмерном пространстве) вне начала отсчёта:
или
  • В случае если

Применение[]

Через данный оператор удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение, хотя наиболее простой вид последнее принимает с использованием оператора Д'Aламбера (Даламбертиана). Впрочем, последний представляет собой не более, чем оператор Лапласа в пространстве Минковского (формально пространство Минковского можно ввести для любого поля, подчиняющегося волновому уравнению, хотя, конечно, параметр c может быть в каждом конкретном случае своим, например, скорость звука).

В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, пленок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся в непрерывном пределе к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения[]

См. также[]




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор Лапласа. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement