Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:
.
Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:
То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.
Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:
Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.
Операторы второго порядка[]
Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:
Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы.
Два из них всегда равны нулю:
Два всегда совпадают:
Три оставшихся связаны соотношением:
Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:
Отличия наблы от вектора[]
Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Набла — это не вектор, а оператор. Он не принадлежит тому векторному пространству, на котором действует, и не обладает свойствами векторов, следующими из их геометрического смысла. В частности, он не коммутирует с векторами:
Как известно, представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля . Если бы набла был вектором, то смешанное произведение было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.
так как
Кроме того, необходимо помнить, на какие вектора и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле:
В частности, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:
Если оператор не действует на некоторое поле, то частные производные коммутируют во всех выражениях с компонентами этого поля, поэтому поле и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют) во всех выражениях и можно производить чисто алгебраические преобразования.
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор набла. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .