ФЭНДОМ


Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом \nabla (набла) (в Юникоде U+2207, ∇).

Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами {\partial\over\partial x_1},\;{\partial\over\partial x_2},\;\ldots,\;{\partial\over\partial x_n} в n-мерном пространстве.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом:

\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}

Свойства оператора набла Править

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор \nabla на скаляр \phi, то получится вектор

\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k},

который представляет собой градиент функции \phi. Если вектор \nabla скалярно умножить на вектор \vec{a}, получится скаляр

\nabla\cdot\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z},

то есть дивергенция вектора \vec{a}. Если \nabla умножить на \vec{a} векторно, то получится ротор вектора \vec{a}.

Соответственно, скалярное произведение \nabla\cdot\nabla=\nabla^2 есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также \ \Delta. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

Невозможно разобрать выражение (Преобразование в PNG прошло с ошибкой — проверьте правильность установки latex и dvips (или dvips + gs + convert)): \mathbf\operatorname{grad}(\phi\psi)=\mathbf\nabla(\phi\psi)=\psi\mathbf\nabla\phi+\phi\mathbf\nabla\psi=\psi\ \mathbf\operatorname{grad}\phi+\phi\ \mathbf\operatorname{grad}\psi
Невозможно разобрать выражение (Преобразование в PNG прошло с ошибкой — проверьте правильность установки latex и dvips (или dvips + gs + convert)): \operatorname{div}(\mathbf\operatorname{grad}\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi


То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

\nabla \cdot \vec v = \stackrel{\downarrow}{\vec v} \cdot \nabla

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка Править

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

\mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f)
\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \times (\nabla f)
\Delta f = \nabla^2 f
\mbox{grad}\,(\mbox{div}\, \vec v ) = \nabla (\nabla \cdot \vec v)
\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v)
\mbox{rot}\,(\mbox{rot}\,\vec v ) = \nabla \times (\nabla \times \vec v)
\Delta \vec v = \nabla^2 \vec v

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

\mbox{rot}\,(\mbox{grad}\,f ) = [\nabla ; (\nabla f)] = [\nabla ; \nabla] f = 0
\mbox{div}\,(\mbox{rot}\,\vec v ) = (\nabla ; [\nabla ; \vec{v}]) = ([\nabla ; \nabla] ; \vec{v}) = 0

Два всегда совпадают:

 \mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f ) = (\nabla ; \nabla f) = (\nabla ; \nabla) f = \Delta f

Три оставшихся связаны соотношением:

[\nabla ; [ \nabla ; \vec{v} ] ] = \nabla (\nabla ; \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

\nabla ( \nabla ; \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})

Отличия наблы от вектора Править

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Набла — это не вектор, а оператор. Он не принадлежит тому векторному пространству, на котором действует, и не обладает свойствами векторов, следующими из их геометрического смысла. В частности, он не коммутирует с векторами:

\vec u \cdot \vec v =  \vec v \cdot \vec u
\nabla \cdot \vec v \ne \vec v \cdot \nabla

Как известно, (\vec v ; \nabla) представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля \vec {v}. Если бы набла был вектором, то смешанное произведение (\vec v\ \nabla\ \vec v) было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

(\nabla \cdot \mathbf v) f \ne (\mathbf v \cdot \nabla) f

так как

(\nabla \cdot \mathbf v) f = (\frac{\part v_x}{\part x}+\frac{\part v_y}{\part y}+\frac{\part v_z}{\part z})f =
 = \frac{\part v_x}{\part x}f+\frac{\part v_y}{\part y}f+\frac{\part v_z}{\part z}f
(\mathbf v \cdot \nabla) f = (v_x \frac{\part}{\part x}+v_y \frac{\part}{\part y}+v_z \frac{\part}{\part z})f =
 = v_x \frac{\part f}{\part x}+v_y \frac{\part f}{\part y}+v_z \frac{\part f}{\part z}

Кроме того, необходимо помнить, на какие вектора и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле:

(\nabla x) \times (\nabla y) = (\mathbf i \frac{\part x}{\part x}+\mathbf j \frac{\part x}{\part y}+\mathbf k \frac{\part x}{\part z}) \times (\mathbf i \frac{\part y}{\part x}+\mathbf j \frac{\part y}{\part y}+\mathbf k \frac{\part y}{\part z}) =
 = (\mathbf i \cdot 1 +\mathbf j \cdot 0+\mathbf k \cdot 0) \times (\mathbf i \cdot 0+\mathbf j \cdot 1+\mathbf k \cdot 0) =
 = \mathbf i  \times \mathbf j = \mathbf{k}
(\mathbf u x )\times (\mathbf u y) =  x y (\mathbf u \times \mathbf u)  =  x y \mathbf 0 = \mathbf{0}

В частности, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой: (\nabla ; [\vec u; \vec v]) = 
(\nabla ; [\stackrel{\downarrow}{\vec u}; \vec v]) + (\nabla ; [\vec u; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = 
(\vec u ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec u}]) - (\vec v ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = \vec u \cdot \mbox{rot} \vec v - \vec v \cdot \mbox{rot} \vec u

Если оператор не действует на некоторое поле, то частные производные коммутируют во всех выражениях с компонентами этого поля, поэтому поле и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют) во всех выражениях и можно производить чисто алгебраические преобразования.

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор набла. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики