Virtual Laboratory Wiki
Регистрация
Advertisement

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇).

Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами в -мерном пространстве.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом:

Свойства оператора набла[]

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор на скаляр , то получится вектор

,

который представляет собой градиент функции . Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

,

то есть дивергенция вектора . Если умножить на векторно, то получится ротор вектора .

Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка[]

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

Два всегда совпадают:

Три оставшихся связаны соотношением:

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

Отличия наблы от вектора[]

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Набла — это не вектор, а оператор. Он не принадлежит тому векторному пространству, на котором действует, и не обладает свойствами векторов, следующими из их геометрического смысла. В частности, он не коммутирует с векторами:

Как известно, представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля . Если бы набла был вектором, то смешанное произведение было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

так как

Кроме того, необходимо помнить, на какие вектора и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле:

В частности, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

Если оператор не действует на некоторое поле, то частные производные коммутируют во всех выражениях с компонентами этого поля, поэтому поле и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют) во всех выражениях и можно производить чисто алгебраические преобразования.

См. также[]



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор набла. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement