ФЭНДОМ


Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в некоторых системах координат.

Таблица операторов Править

Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, \theta обозначает угол между осью z и радиус-вектором точки. \phi — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость x-y и осью x.

Запись оператора Гамильтона в различных системах координат
Оператор Декартовы координаты (x, y, z) Цилиндрические координаты (ρ,φ,z) Сферические координаты (r,θ,φ) Параболические координаты (σ,τ,z)
Формулы преобразования координат \begin{matrix}
    \rho & = & \sqrt{x^2+y^2} \\
    \phi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\
       z & = & z \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & \rho\cos\phi \\
    y & = & \rho\sin\phi \\
    z & = & z \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & r\sin\theta\cos\phi \\
    y & = & r\sin\theta\sin\phi \\
    z & = & r\cos\theta \end{matrix} \begin{matrix}
    x & = & \sigma \tau\\
    y & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
    z & = & z \end{matrix}
\begin{matrix}
    r      & = & \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
    \theta & = & \operatorname{arctg}{\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)}\\
    \phi   & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\ \end{matrix} \begin{matrix}
    r      & = & \sqrt{\rho^2 + z^2} \\
    \theta & = & \operatorname{arctg}{(\rho/z)}\\
    \phi   & = & \phi \end{matrix} \begin{matrix}
    \rho & = & r\sin(\theta) \\
    \phi & = & \phi\\
    z    & = & r\cos(\theta) \end{matrix} \begin{matrix}
    \rho\cos\phi & = & \sigma \tau\\
    \rho\sin\phi & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
    z & = & z \end{matrix}
Радиус-вектор произвольной точки x\mathbf{\hat x} + y\mathbf{\hat y} + z\mathbf{\hat z} \rho\boldsymbol{\hat \rho} + z\boldsymbol{\hat z} r\boldsymbol{\hat r}  ?
Связь единичных векторов \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat\rho} & = &  \frac{x}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & -\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{x}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z}       & = &  \mathbf{\hat z}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \cos\phi\boldsymbol{\hat\rho}-\sin\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\phi\boldsymbol{\hat\rho}+\cos\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat x} & = & \sin\theta\cos\phi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\cos\phi\boldsymbol{\hat\theta}-\sin\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat y} & = & \sin\theta\sin\phi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\sin\phi\boldsymbol{\hat\theta}+\cos\phi\boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z} & = & \cos\theta        \boldsymbol{\hat r}-\sin\theta        \boldsymbol{\hat\theta} \\
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \sigma} & = &  \frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}-\frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \boldsymbol{\hat\tau} & = &  \frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}+\frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
    \mathbf{\hat z}       & = &  \mathbf{\hat z}
    \end{matrix}
\begin{matrix}
    \mathbf{\hat r}         & = & \frac{x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}}{r} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{xz\mathbf{\hat x}+yz\mathbf{\hat y}-\rho^2\mathbf{\hat z}}{r \rho} \\
    \boldsymbol{\hat\phi}   & = & \frac{-y\mathbf{\hat x}+x\mathbf{\hat y}}{\rho}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \mathbf{\hat r}         & = & \frac{\rho}{r}\boldsymbol{\hat \rho}+\frac{   z}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{z}{r}\boldsymbol{\hat \rho}-\frac{\rho}{r}\mathbf{\hat z} \\
    \boldsymbol{\hat\phi}   & = & \boldsymbol{\hat\phi}
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \boldsymbol{\hat \rho} & = & \sin\theta\mathbf{\hat r}+\cos\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
    \boldsymbol{\hat\phi} & = & \boldsymbol{\hat\phi} \\
    \mathbf{\hat z}       & = & \cos\theta\mathbf{\hat r}-\sin\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
    \end{matrix} \begin{matrix}
    \end{matrix}
Векторное поле \mathbf{A} A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z} A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} A_\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + A_\tau\boldsymbol{\hat \tau} + A_\phi\boldsymbol{\hat z}
Градиент \nabla f {\partial f \over \partial x}\mathbf{\hat x} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{\hat y} 
  + {\partial f \over \partial z}\mathbf{\hat z} {\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} 
  + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} 
  + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z} {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} 
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}  \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \sigma}\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \tau}\boldsymbol{\hat \tau} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}
Дивергенция \nabla \cdot \mathbf{A} {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over\rho}{\partial \left(\rho A_\rho \right) \over \partial \rho} 
  + {1 \over\rho}{\partial A_\phi \over \partial \phi} 
  + {\partial A_z \over \partial z} {1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(  A_\theta\sin\theta \right)  
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}  \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\sigma \over \partial \sigma} + \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\tau \over \partial \tau} + {\partial A_z \over \partial z}
Ротор \nabla \times \mathbf{A} \begin{matrix}
  \left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \mathbf{\hat x} & + \\
  \left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \mathbf{\hat y} & + \\
  \left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \phi}
    - \frac{\partial A_\phi}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right) \boldsymbol{\hat \phi} & + \\
  \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial (\rho A_\phi) }{\partial \rho} 
    - \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right)
    - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} 
    - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\
  {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
    - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi} & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \tau}
    - {\partial A_\tau \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \sigma} & - \\
  \left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \sigma}- {\partial A_\sigma \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \tau} & + \\
  \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}\left({\partial \left( s A_\phi \right) \over \partial s} 
    - {\partial A_s \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}
Оператор Лапласа \Delta f = \nabla^2 f {\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over\rho}{\partial \over \partial\rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right) 
  + {1 \over\rho^2}{\partial^2 f \over \partial \phi^2} 
  + {\partial^2 f \over \partial z^2} {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}  \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} f}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} f}{\partial \tau^{2}} \right) +
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}
Лапласиан (англ.) векторной функции \Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A} \Delta A_x \mathbf{\hat x} + \Delta A_y \mathbf{\hat y} + \Delta A_z \mathbf{\hat z} \begin{matrix}
  \left(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} 
    - {2 \over \rho^2}{\partial A_\phi \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
  \left(\Delta A_\phi - {A_\phi \over \rho^2} 
    + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\phi} & + \\
  \left(\Delta A_z \right) \boldsymbol{\hat z}  & \ \end{matrix} \begin{matrix}
  \left(\Delta A_r - {2 A_r \over r^2} 
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial \left(A_\theta \sin\theta\right) \over \partial\theta}
    - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
  \left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta} 
    + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta} 
    - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\theta} & + \\
  \left(\Delta A_\phi - {A_\phi \over r^2\sin^2\theta}
    + {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi}
    + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat\phi} & \end{matrix}  ?
Элемент длины d\mathbf{l} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z} d\mathbf{l} = d\rho\boldsymbol{\hat\rho} + \rho d\phi\boldsymbol{\hat\phi} + dz\boldsymbol{\hat z} d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{\hat \phi} d\mathbf{l} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\tau\boldsymbol{\hat \tau} + dz\boldsymbol{\hat z}
Элемент ориентированной площади \begin{matrix}d\mathbf{S} = &dy\,dz\,\mathbf{\hat x} + \\ 
&dx\,dz\,\mathbf{\hat y} + \\ 
&dx\,dy\,\mathbf{\hat z}\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \rho\, d\phi\, dz\,\boldsymbol{\hat \rho} + \\ 
& d\rho \,dz\,\boldsymbol{\hat \phi} + \\ 
& \rho\,d\rho d\phi \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta \,d\theta \,d\phi \,\mathbf{\hat r} + \\
& r\sin\theta \,dr\,d\phi \,\boldsymbol{\hat \theta} + \\
& r\,dr\,d\theta\,\boldsymbol{\hat \phi}
\end{matrix} \begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}, d\tau\, dz\,\boldsymbol{\hat \sigma} + \\ 
& \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\,dz\,\boldsymbol{\hat \tau} + \\ 
& \sigma^{2} + \tau^{2} d\sigma, d\tau \,\mathbf{\hat z}
\end{matrix}
Элемент объёма d\tau = dx\,dy\,dz \, d\tau = \rho\, d\rho\, d\phi\, dz\, d\tau = r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\, d\phi\, d\tau = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz,

Некоторые свойства Править

Не равные нулю операторы второго порядка:

  1. \operatorname{div\ grad\ } f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f (Оператор Лапласа)
  2. \operatorname{rot\ grad\ } f = \nabla \times (\nabla f) = 0
  3. \operatorname{div\ rot\ } \mathbf{A} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0
  4. \operatorname{rot\ rot\ } \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) 
                                                = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}

(используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)

  1. \Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор набла в различных системах координат. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики