ФЭНДОМ


Определи́тель (или детермина́нт[1]) — одна из важнейших характеристик квадратных матриц. Определитель матрицы размера n\times n равен ориентированному n-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).

Для матрицы n\times n определитель выражается в виде многочлена степени n от элементов матрицы, который представляет собой сумму произведений элементов матрицы со всевозможными комбинациями различающихся номеров строк и столбцов, причём в каждом из произведений элемент из любой строки и любого столбца ровно один. Каждому произведению приписывается знак плюс или минус в зависимости от чётности перестановки номеров.

Если элементами матрицы являются числа, то определитель — это тоже число. В общем случае определитель может быть функциональным, векторным и т. п., то есть, представлять собой иные выражения, составленные из элементов.

Определение Править

Определитель матрицы n\times n задаётся формулой:

\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{i=1}^{n!} (-1)^{p(i)} \cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}} \ldots a_{nk_{in}}

где

  • |A| и \det(A) — так обозначается определитель,
  • k_{ij} − i-я перестановка последовательности k_1 = 1,..,n, то есть, k_{1j} = j
  • p(i) − количество перестановок пар номеров в последовательности k_{1j}, необходимое для того, чтобы она превратилась в последовательность k_{1j}.

или формула для вычисления определителя по заданной строке матрицы:

\det(A) = |A| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+i}  a_{ik} M_{ik}

где

ЗамечанияПравить

Можно выделить следующие особенности построения выражения для определителя матрицы n \times n:

  • выражение есть сумма членов, каждый из которых состоит из n сомножителей
  • количество слагаемых в сумме равно количеству перестановок n номеров, то есть, n!
  • номера строк и столбцов элементов, входящих в одно слагаемое, не повторяются
  • слагаемые входят в сумму либо с плюсом, либо с минусом, в зависимости от чётности перестановки
  • слагаемое из элементов главной диагонали матрицы, то есть, a_{11}a_{22} \ldots a_{nn} входит с плюсом

Определитель матрицы 2 \times 2 Править

Для вычисления определителя матрицы размером 2 \times 2, перемножаются её элементы, стоящие на главной диагонали и из них вычитается произведение остальных элементов:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

На рисунке элементы, входящие в сумму с плюсом, помечены красным, а с минусом — синим.

Определитель матрицы 3 \times 3 Править

Для вычисления определителя матрицы размером 3 \times 3, строится шесть произведений следующим образом:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}

На рисунке элементы, входящие в сумму с плюсом, помечены красным, а с минусом — синим, каждой законченной фигуре из трёх точек соответствует один член суммы из трёх сомножителей.

Свойства определителей Править

  • Определитель матрицы n\times n равен ориентированному n-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).
    • Отсюда видно, что если строки линейно зависимы (соответствующие векторы лежат в подпространстве меньшей размерности), то объём и определитель равны нулю.
  • Если матрицу транспонировать (сделать строки столбцами), то определитель не изменится.
    \det(A^T) = \det(A)
  • \det(AB) = \det(A)\det(B).
    • Доказательство: Легко увидеть, что строки c_1,...,c_n матрицы AB получаются из строк a_1,...,a_n матрицы A умножением на B: c_i=a_i*B (i=1,..,n) => что при фиксированной матрице B det( AB) есть кососимметрическая полилинейная функция строк матрицы A. Пусть a_1=\dot{a_1}+\ddot{a_1}, где \dot{a_1},\ddot{a_1} — какие-то строки => \det (a_1*B,a_2*B,...,a_n*B)=\det ((\dot{a_1}+\ddot{a_1})*B,a_2*B,...,a_n*B)=\det (\dot{a_1}*B+\ddot{a_1}*B,a_2*B,...,a_n*B)=\det (\dot{a_1}*B,a_2*B,...,a_n*B)+\det (\ddot{a_1}*B,a_2*B,...,a_n*B) Так как det( AB) есть кососимметрическая полилинейная функция, то справедливо: \det(AB)=\det(EB)*\det(A)=\det(A)*\det(B).
  • Определитель треугольной матрицы (в частности, конечно, и диагональной) равен произведению её диагональных элементов.
  • Определитель косотреугольной матрицы равен произведению её элементов побочной диагонали со знаком (-1)^{n(n-1)/2}=(-1)^{[n/2]} ([x]целая часть числа x).

Следующие свойства определителей, касающиеся строк, справедливы также и для столбцов.

  • Если строку (т.е. все ее элементы) умножить на некоторое число, то определитель умножится на то же самое число.
  • Если у матрицы переставить две строки, то её определитель изменит знак на противоположный.
  • Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
  • Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.
  • При добавлении к любой строке линейной комбинации других строк определитель не изменится.
  • Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
  • Сумма произведений всех элементов любой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Специальные виды определителей Править

См. также Править

  1. термин определитель предпочтилен.

СсылкиПравить




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Определитель. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики