ФЭНДОМ


Оптическая теорема - соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния f(\theta) и сечение рассеяния \sigma.

Оптическая теорема формулируется следующим образом:

\sigma=\frac{4\pi}{k}~Im\,f(0),

где f(0) — амплитуда рассеяния вперёд, \sigma — сечение рассеяния, k — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.

Более общий вид теоремы

f(\bold{n, n^{'}})-f^{*}(\bold{n^{'},n})=\frac{i k}{2 \pi} \int f(\bold{n, n^{''}}) f^{*}(\bold{n^{'}, n^{''}}) d\omega^{''}

ДоказательствоПравить

Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:

\psi \approx e^{i k r \bold{(n, n^{'})}} + \frac{1}{r} f(\bold{n, n^{'}}) e^{i k r},

где \bold{n} — направление падения частиц, \bold{n^'} — направление рассеяния.

Любая линейная комбинация функций \psi с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив \psi на произвольные коэффициенты F(\bold{n}) и проинтегрировав по всем направлениям \bold{n}, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла

\int F(\bold{n}) e^{i k r \bold{(n, n^{'})}} d\Omega + \frac{e^{i k r}}{r} \int F(\bold{n}) f(\bold{n, n^{'}}) d\Omega

Поскольку расстояние r велико, то множитель e^{i k r \bold{n, n^{'}}} в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора \bold{n}. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений \bold{n}, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (\bold{n} \pm \bold{n^'}). В каждой из этих областей множитель F(\bold{n}) \approx F(\pm\bold{n^'}) можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование дает

2 \pi i F(-\bold{n^'}) \frac{e^{-i k r}}{k r} - 2 \pi i F(\bold{n^'}) \frac{e^{i k r}}{r} + \frac{e^{i k r}}{r} \int f(\bold{n , n^'}) F(\bold{n}) d\Omega.

Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель 2 \pi i / k:

\frac{e^{-i k r}}{r} F(-\bold{n^'}) - \frac{e^{i k r}}{r} \hat{S} F(\bold{n^'}),

где

\hat{S}=1\,+\,2 i k \hat{f},

а \hat{f} — интегральный оператор:

\hat{f} F(\bold{n^'}) = \frac{1}{4 \pi} \int f(\bold{n, n^'}) F(\bold{n}) d\Omega.

Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния \hat{S} должен быть унитарным, то есть

\hat{S} \hat{S}^{+} = \hat{1},

или (с учетом выражения для \hat{S}):

\hat{f}-\hat{f}^{+} = 2 i k \hat{f} \hat{f}^{+}.

Наконец, учитывая определение \hat{f}, получаем утверждение теоремы

f(\bold{n, n^{'}})-f^{*}(\bold{n^{'},n})=\frac{i k}{2 \pi} \int f(\bold{n, n^{''}}) f^{*}(\bold{n^{'}, n^{''}}) d\Omega^{''}.

СсылкиПравить

  • Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Курс теоретической физики. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. — ISBN 5-9221-0530-2



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оптическая теорема. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики