ФЭНДОМ


Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай Править

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи дельта-символа Кронекера:

 ( e_i,e_j ) = \delta_{ij}\

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (i\ne j), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортонормированном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нем можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Разложение вектора по ортонормированному базису:

\ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + ... + a_n \mathbf{e_n}

можно найти так:

\ a_i = (\mathbf{a},\mathbf{e_i})

то есть каждый коэффициент разложения (координата) любого вектора в ортонормированном базисе равна просто скалярному произведению этого вектора на соответствующий базисный вектор.

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора \mathbf{a}

(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,

то есть квадрат нормы вектора равна сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису.

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай Править

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e_1,e_2,...,e_n,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент x\in X однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n ,

называемого рядом Фурье элемента x по системе \{e_n\}.

Обычно базис \{e_n\} выбирается так, что |e_n|=1, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа a_n, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированному базису \{e_n\}, имеют вид

a_n=( x,e_n ).

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система \{e_n\} была базисом, является равенство Парсеваля

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел \{a_n\} такая, что \sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом \{e_n\} ряд \sum_{n=1}^\infty a_ne_n — сходится по норме к некоторому элементу x\in X. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l_2 (теорема Рисса — Фишера).

См. также Править



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ортогональный базис. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики