ФЭНДОМ


Откры́тое мно́жество в математическом анализе, геометрии — это множество, каждая точка которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество также является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (в смысле теории множеств и т.д.).

Евклидово пространство Править

Пусть U \subset \mathbb{R}^n есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда U называется открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0, такое что V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, где V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x - x_0 \| < \varepsilon \}ε-окрестность точки x_0. Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство Править

Пусть (X,\varrho) — некоторое метрическое пространство, и U \subset X. Тогда U называется открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0, такое что V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, где V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X \mid \varrho(x,x_0) < \varepsilon\} — ε-окрестность точки x_0 относительно метрики \varrho.

Топологическое пространство Править

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство (X,\mathcal{T}) по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств \mathcal{T}«топологию», определённую на X. Подмножество U \subset X, такое, что оно является элементом топологии (то есть U \in \mathcal{T}), называется открытым множеством относительно топологии \mathcal{T}.

См. также Править


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Открытое множество. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики